Qual cônica obtemos ao intersectar a superfície dada por 4 x^2-y^2=z com planos horizontais z=k ?

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície z = 4x^2 - y^2 e pede a curva obtida ao intersectá-la com planos horizontais z = k. Vamos, portanto, substituir z por k e estudar a forma da curva em função de k.

Passo 2

Substituindo z=k em z = 4x^2 - y^2 obtemos a equação em x,y
4x^2 - y^2 = k
Para kneq 0, dividimos ambos os lados por k e escrevemos em forma padrão:
4x^2k - y^2k = 1
Se k>0, isso é
x^2k/4 - y^2k = 1,
que é uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos x e y. Se k<0, basta notar que
4x^2 - y^2 = k<0 Long<=ftrightarrow -y^2 + 4x^2 = k Long<=ftrightarrow y^2|k| - x^2|k|/4 = 1,
ou seja, também hipérbole, mas agora com eixos trocados de orientação.

Passo 3

No caso especial k=0, a equação fica
4x^2 - y^2 = 0 Long<=ftrightarrow (2x - y)(2x + y) = 0,
que representa duas retas concorrentes y=2x e y=-2x. É um caso degenerado de hipérbole.

Resposta

Para todo kneq 0, a interseção é uma hipérbole. No caso k=0, obtemos as retas y=2x e y=-2x, conicidade degenerada.

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