Qual cônica obtemos ao intersectar a superfície dada por
com planos horizontais
?
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
e pede a curva obtida ao intersectá-la com planos horizontais
. Vamos, portanto, substituir
por
e estudar a forma da curva em função de
.
Passo 2
Substituindo
em
obtemos a equação em
Para
, dividimos ambos os lados por
e escrevemos em forma padrão:
Se
, isso é
que é uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos
e
. Se
, basta notar que
ou seja, também hipérbole, mas agora com eixos trocados de orientação.
Passo 3
No caso especial
, a equação fica
que representa duas retas concorrentes
e
. É um caso degenerado de hipérbole.
Resposta
Para todo
, a interseção é uma hipérbole. No caso
, obtemos as retas
e
, conicidade degenerada.