Identificar as quádricas representadas pelas equações seguintes, determinando seus traços com planos paralelos aos planos coordenados.
x^2-4 y^2+2 z^2-8=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a quádrica
x^2-4y^2+2z^2-8=0
e pede para identificá-la e determinar seus traços em planos paralelos aos planos coordenados. O conteúdo envolvido é a classificação de superfícies do tipo pm x^2pm y^2pm z^2=1 e o cálculo de interseções com planos fixos x=x0, y=y0 e z=z0.

Passo 2

Para classificar, primeiro trazemos a equação à forma canônica, dividindo tudo por 8:
x^28-y^22+z^24=1
Aqui temos dois coeficientes positivos ( tfrac18 em x^2 e tfrac14 em z^2) e um negativo ( -tfrac12 em y^2), com o lado direito +1. Pela regra de sinais, isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha alinhado aos eixos coordenados.

Passo 3

Traço no plano y=0: basta pôr y=0 na forma canônica, obtendo
x^28+z^24=1
Isso é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em x de raiz8=2raiz2 e em z de raiz4=2.

Passo 4

Traço no plano z=0: colocando z=0 vem
x^28-y^22=1,
que é uma hipérbole centrada na origem. Os eixos estão ao longo de x e y e as assíntotas são dados por
x^28-y^22=0 Longrightarrow y=pmx2

Passo 5

Traço no plano x=0: com x=0 fica
-y^22+z^24=1 Longrightarrow z^24-y^22=1,
outra hipérbole, desta vez centrada na origem no plano yz, com assíntotas
z^24-y^22=0 Longrightarrow z=pmraiz2,y

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha, cujos traços em y=0 são elipses, em z=0 e em x=0 são hipérboles.

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