CÔNICAS
4. Ache o centro e o raio da circunferência de equação x^{2}+y^{2}+8 x-6 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}+8x-6y=0
e pede duas coisas:
  • achar o centro da circunferência;
  • achar o raio da circunferência.
Informações relevantes fornecidas:
  • os termos quadráticos em x e y estão presentes com coeficiente 1;
  • os termos lineares são 8x e -6y;
  • não há termo misto xy nem termo constante independente já escrito (o lado direito é 0).

Passo 2

Ideia de solução (fórmula que vamos usar): transformar a equação na forma padrão de uma circunferência, que é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},
onde:
  • (a,b) é o centro da circunferência,
  • r é o raio (positivo).
Para isso usamos o método de completar quadrado. Regra útil e sua demonstração rápida:
para qualquer número real b,
x^{2}+bx=\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Demonstração (expansão):
\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}=x^{2}+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^{2},
logo isolando x^{2}+bx obtemos a igualdade acima. O mesmo vale trocando x por y.

Passo 3

Agrupamos os termos por variáveis na equação dada:
x^{2}+8x \;+\; y^{2}-6y \;=\;0.

Passo 4

Aplicamos completar quadrado no grupo em x. Aqui b=8, logo \dfrac{b}{2}=4. Assim
x^{2}+8x=\left(x+4\right)^{2}-4^{2}=\left(x+4\right)^{2}-16.

Passo 5

Aplicamos completar quadrado no grupo em y. Aqui b=-6, logo \dfrac{b}{2}=-3. Assim
y^{2}-6y=\left(y-3\right)^{2}-(-3)^{2}=\left(y-3\right)^{2}-9.

Passo 6

Substituímos as duas identidades na equação original:
\bigl((x+4)^{2}-16\bigr)+\bigl((y-3)^{2}-9\bigr)=0.
Simplificando os termos constantes:
(x+4)^{2}+(y-3)^{2}-25=0.

Passo 7

Isolamos os quadrados para obter a forma padrão:
(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=25.
Compare com a forma padrão (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}. Note que (x+4)^{2}=(x-(-4))^{2}, portanto:
  • o centro é (a,b)=(-4,\,3),
  • e r^{2}=25, então r=\sqrt{25}=5 (tomamos a raiz positiva para o raio).

Passo 8

Resumo didático rápido (para a prova): ao ver uma equação do tipo x^{2}+y^{2}+ termos lineares =0, agrupe x^{2}+(\text{coef }x)\cdot x e y^{2}+(\text{coef }y)\cdot y, complete o quadrado em cada grupo usando \left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}, some os constantes e escreva na forma (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}. O par (a,b) é o centro e \sqrt{r^{2}} é o raio.

Resposta

Centro: (-4,\,3)
Raio: 5

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