CÔNICAS
4. Ache o centro e o raio da circunferência de equação
.
4. Ache o centro e o raio da circunferência de equação
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas:
- achar o centro da circunferência;
- achar o raio da circunferência.
Informações relevantes fornecidas:
- os termos quadráticos em
e estão presentes com coeficiente ; - os termos lineares são
e ; - não há termo misto
nem termo constante independente já escrito (o lado direito é ).
Passo 2
Ideia de solução (fórmula que vamos usar): transformar a equação na forma padrão de uma circunferência, que é
onde:
-
é o centro da circunferência, -
é o raio (positivo).
Para isso usamos o método de completar quadrado. Regra útil e sua demonstração rápida:
para qualquer número real ,
para qualquer número real
Demonstração (expansão):
logo isolando
obtemos a igualdade acima. O mesmo vale trocando
por
.
Passo 3
Agrupamos os termos por variáveis na equação dada:
Passo 4
Aplicamos completar quadrado no grupo em
. Aqui
, logo
. Assim
Passo 5
Aplicamos completar quadrado no grupo em
. Aqui
, logo
. Assim
Passo 6
Substituímos as duas identidades na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 7
Isolamos os quadrados para obter a forma padrão:
Compare com a forma padrão
. Note que
, portanto:
- o centro é
, - e
, então (tomamos a raiz positiva para o raio).
Passo 8
Resumo didático rápido (para a prova): ao ver uma equação do tipo
termos lineares
, agrupe
e
, complete o quadrado em cada grupo usando
, some os constantes e escreva na forma
. O par
é o centro e
é o raio.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: