CÔNICAS
  1. Calcular a distância entre o centro da circunferência de equação x^{2}+y^{2}-2 x-8 y-19=0 e o foco da parábola de equação \frac{x^{2}}{12}=y.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • O enunciado dá a equação da circunferência:
x^{2}+y^{2}-2x-8y-19=0.
  • O enunciado dá a equação da parábola:
\frac{x^{2}}{12}=y.
  • Pergunta: calcular a distância entre o centro da circunferência e o foco da parábola.

Passo 2

Encontrar o centro da circunferência a partir da equação geral. Vou completar quadrados em x e y.
Começo reescrevendo:
x^{2}-2x + y^{2}-8y = 19.
Agora completo o quadrado para cada variável:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \qquad y^{2}-8y = (y-4)^{2}-16.
Substituindo na equação:
\bigl((x-1)^{2}-1\bigr) + \bigl((y-4)^{2}-16\bigr) = 19.
Somando os termos constantes do lado esquerdo:
(x-1)^{2} + (y-4)^{2} -17 = 19.
Isolando os quadrados:
(x-1)^{2} + (y-4)^{2} = 36.
Isto é a forma padrão de uma circunferência com centro (1,4) e raio \sqrt{36}=6. Portanto o centro é
\text{centro } C = (1,4).

Passo 3

Agora encontrar o foco da parábola. A equação dada é
\frac{x^{2}}{12}=y.
Multiplicando ambos os lados por 12 obtemos a forma mais usual:
x^{2}=12y.
A forma padrão de uma parábola com eixo y-vertical e vértice na origem é
x^{2}=4py,
onde p é a distância do vértice ao foco (positiva para foco acima do vértice, se p>0). Nessa forma, o foco é o ponto (0,p).

Passo 4

Comparando x^{2}=12y com x^{2}=4py temos:
4p = 12 \quad\Rightarrow\quad p = 3.
Logo o foco da parábola é
F = (0,3).

Passo 5

Calcular a distância entre o centro C=(1,4) e o foco F=(0,3) usando a fórmula da distância entre dois pontos:
d(C,F)=\sqrt{(x_C-x_F)^{2}+(y_C-y_F)^{2}}.
Substituindo as coordenadas:
d(C,F)=\sqrt{(1-0)^{2}+(4-3)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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