CÔNICAS
2. Dada a equação -4 x^{2}+y^{2}-4=0.
a) Identifique a Cónica;
b) Determine os seus elementos;
c) Faça um esboço do seu gráfico;

Passo 1

O enunciado dá a equação
-4x^{2}+y^{2}-4=0
e pede três coisas:
  • (a) identificar a cônica;
  • (b) determinar os seus elementos (centro, vértices, focos, assíntotas, diretizes, parâmetros a,b,c,e, etc.);
  • (c) fazer um esboço do gráfico.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes dos termos quadráticos: coeficiente de x^{2} é -4 e de y^{2} é +1.
  • Termo independente: -4.
  • Não há termo xy nem termos lineares em x ou y.

Passo 2

Classificação da cônica (regra que vamos usar).
  • Para uma cônica geral da forma Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0 a quantidade \Delta = B^{2}-4AC ajuda a classificar:
    • \Delta>0 indica hipérbole;
    • \Delta=0 indica parábola;
    • \Delta<0 indica elipse (ou circunferência, caso especial).
  • Aqui temos A=-4, B=0, C=1. Calculando:
\Delta = 0^{2}-4(-4)(1)=16>0.
Portanto a cônica é uma hipérbole. (Explicação curta: sinais opostos nos quadrados já dão a ideia de ramos em direções opostas.)

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão da hipérbole (passo algébrico).
  • Começo isolando o termo constante:
-4x^{2}+y^{2}=4.
  • Divido ambos os lados por 4 para obter termos normalizados:
\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{1}=1.
  • Essa é a forma padrão da hipérbole com eixo transverso vertical:
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,
onde, ao comparar, identificamos
a^{2}=4,\quad b^{2}=1.
  • Assim a=2 e b=1. (Observação didática: em \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 os ramos abrem para cima e para baixo; se a forma fosse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 abririam para esquerda/direita.)

Passo 4

Centro, vértices e co-vértices.
  • Centro: por termos sem x ou y lineares, o centro é (0,0).
  • Vértices: para a hipérbole vertical os vértices estão em (0,\pm a). Então:
\text{vértices: }(0,2)\text{ e }(0,-2).é
  • Co-vértices (extremos do eixo conjugado): ficam em (\pm b,0):
\text{co-vértices: }(1,0)\text{ e }(-1,0).é
  • Comprimentos dos eixos:
    • eixo transverso (entre vértices): 2a=4.
    • eixo conjugado: 2b=2.

Passo 5

Focos e excentricidade.
  • Para hipérbole vale c^{2}=a^{2}+b^{2}. Então:
c^{2}=4+1=5 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{5}.
  • Focos, como o eixo transverso é vertical, estão em (0,\pm c):
\text{focos: }(0,\sqrt{5})\text{ e }(0,-\sqrt{5}).
  • Excentricidade:
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx1{,}118.
(Interpretação rápida: e>1 como esperado para hipérboles.)

Passo 6

Assíntotas da hipérbole.
  • Para a forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1, as assíntotas são as retas:
y=\pm\frac{a}{b}\,x.
  • Substituindo a=2, b=1:
\text{assíntotas: }y=\pm 2x.í
  • Essas linhas passam pelo centro (0,0) e guiam os ramos: à medida que |x| e |y| crescem, os ramos se aproximam dessas retas.

Passo 7

Diretrizes (directrices).
  • Para a hipérbole, as diretizes (linhas associadas ao parâmetro e) são, no caso vertical,
y=\pm\frac{a}{e}.
  • Já temos a=2 e e=\dfrac{\sqrt{5}}{2}, então
\frac{a}{e}=\frac{2}{\sqrt{5}/2}= \frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}.
  • Logo as diretizes são
\text{diretizes: }y=\pm\frac{4}{\sqrt{5}}\quad\bigg(\text{o mesmo que }y=\pm\frac{4\sqrt{5}}{5}\bigg).

Passo 8

Latus rectum (opcional, mas útil na prova).
  • Para hipérbole o semi-latus rectum tem comprimento \ell = \dfrac{b^{2}}{a}.
  • Aqui b^{2}=1, a=2 então
\ell = \frac{1}{2}.
  • O segmento completo do latus rectum tem comprimento 2\ell=1. Esses segmentos são perpendiculares ao eixo transverso, passam pelos focos e ajudam a desenhar a “abertura” perto dos focos.

Passo 9

Pontos importantes para esboço (valores concretos para desenhar sem calculadora).
  • Quando x=0 já tínhamos os vértices y=\pm 2.
  • Para y=3:
\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{1}=1 \Rightarrow \frac{9}{4}-x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}=\frac{9}{4}-1=\frac{5}{4},
logo x=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\approx\pm1{,}12.
  • Para y=4:
x^{2}=\frac{16}{4}-1=3\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}73.
Esses pontos mostram a abertura e permitem desenhar os ramos superiores e inferiores.

Passo 10

Como fazer o esboço (passo a passo prático para a prova).
  1. Desenhar os eixos x e y e marcar o centro (0,0).
  2. Marcar os vértices em (0,2) e (0,-2).
  3. Marcar os co-vértices em (\pm1,0) para referência da “caixa” auxiliar.
  4. Traçar as assíntotas y=2x e y=-2x (linhas retas pelo centro).
  5. Desenhar os ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas. Use os pontos calculados (por exemplo, para y=3 e y=4) para posicionar melhor a curva.
  6. Opcional: marcar os focos em (0,\pm\sqrt{5}) para indicar a posição relativa.

Resposta

(a) \displaystyle \text{Hipérbole, na forma } \frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{1}=1.é
(b) Centro (0,0); vértices (0,2) e (0,-2); co-vértices (1,0) e (-1,0); focos (0,\sqrt{5}) e (0,-\sqrt{5}); a=2,\\ b=1,\\ c=\sqrt{5},\\ e=\dfrac{\sqrt{5}}{2}; assíntotas y=\pm 2x; diretizes y=\pm \dfrac{4}{\sqrt{5}}; semi-latus rectum \ell=\dfrac{1}{2}.
(c) Esboço: ramos abrindo para cima e para baixo com centro em (0,0), vértices em (0,\pm2) e assíntotas y=\pm2x.

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