CÔNICAS
2. Dada a equação
.
a) Identifique a Cónica;
b) Determine os seus elementos;
c) Faça um esboço do seu gráfico;
2. Dada a equação
a) Identifique a Cónica;
b) Determine os seus elementos;
c) Faça um esboço do seu gráfico;
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede três coisas:
- (a) identificar a cônica;
- (b) determinar os seus elementos (centro, vértices, focos, assíntotas, diretizes, parâmetros
, etc.); - (c) fazer um esboço do gráfico.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes dos termos quadráticos: coeficiente de
é e de é . - Termo independente:
. - Não há termo
nem termos lineares em ou .
Passo 2
Classificação da cônica (regra que vamos usar).
- Para uma cônica geral da forma
a quantidade ajuda a classificar: -
indica hipérbole; -
indica parábola; -
indica elipse (ou circunferência, caso especial).
-
- Aqui temos
, , . Calculando:
Portanto a cônica é uma hipérbole. (Explicação curta: sinais opostos nos quadrados já dão a ideia de ramos em direções opostas.)
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão da hipérbole (passo algébrico).
- Começo isolando o termo constante:
- Divido ambos os lados por
para obter termos normalizados:
- Essa é a forma padrão da hipérbole com eixo transverso vertical:
onde, ao comparar, identificamos
- Assim
e . (Observação didática: em os ramos abrem para cima e para baixo; se a forma fosse abririam para esquerda/direita.)
Passo 4
Centro, vértices e co-vértices.
- Centro: por termos sem
ou lineares, o centro é . - Vértices: para a hipérbole vertical os vértices estão em
. Então:
- Co-vértices (extremos do eixo conjugado): ficam em
:
- Comprimentos dos eixos:
- eixo transverso (entre vértices):
. - eixo conjugado:
.
- eixo transverso (entre vértices):
Passo 5
Focos e excentricidade.
- Para hipérbole vale
. Então:
- Focos, como o eixo transverso é vertical, estão em
:
- Excentricidade:
(Interpretação rápida:
como esperado para hipérboles.)
Passo 6
Assíntotas da hipérbole.
- Para a forma
, as assíntotas são as retas:
- Substituindo
, :
- Essas linhas passam pelo centro
e guiam os ramos: à medida que e crescem, os ramos se aproximam dessas retas.
Passo 7
Diretrizes (directrices).
- Para a hipérbole, as diretizes (linhas associadas ao parâmetro
) são, no caso vertical,
- Já temos
e , então
- Logo as diretizes são
Passo 8
Latus rectum (opcional, mas útil na prova).
- Para hipérbole o semi-latus rectum tem comprimento
. - Aqui
, então
- O segmento completo do latus rectum tem comprimento
. Esses segmentos são perpendiculares ao eixo transverso, passam pelos focos e ajudam a desenhar a “abertura” perto dos focos.
Passo 9
Pontos importantes para esboço (valores concretos para desenhar sem calculadora).
- Quando
já tínhamos os vértices . - Para
:
logo
.
- Para
:
Esses pontos mostram a abertura e permitem desenhar os ramos superiores e inferiores.
Passo 10
Como fazer o esboço (passo a passo prático para a prova).
- Desenhar os eixos
e e marcar o centro . - Marcar os vértices em
e . - Marcar os co-vértices em
para referência da “caixa” auxiliar. - Traçar as assíntotas
e (linhas retas pelo centro). - Desenhar os ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas. Use os pontos calculados (por exemplo, para
e ) para posicionar melhor a curva. - Opcional: marcar os focos em
para indicar a posição relativa.
Resposta
(a)
(b) Centro
; vértices
e
; co-vértices
e
; focos
e
;
; assíntotas
; diretizes
; semi-latus rectum
.
(c) Esboço: ramos abrindo para cima e para baixo com centro em
, vértices em
e assíntotas
.