Para o conjunto 2,4,4,7,10 aplica-se a transformação \mathrm{y}=3(\mathrm{x}+2). Assinale a alternativa que apresenta, nessa ordem, a nova média, a nova mediana, a nova moda e o efeito da transformação sobre o desvio padrão.
A
111/5, 18, 18, multiplicado por 3.
B
111/5, 18, 6, inalterado.
C
111/5, 6, 18, multiplicado por 9.
D
37/5, 18, 18, multiplicado por 3.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de dados \,2,4,4,7,10\, e aplica a transformação \mathrm{y}=3(\mathrm{x}+2). O que é pedido, nessa ordem:
a nova média do conjunto transformado;
a nova mediana do conjunto transformado;
a nova moda do conjunto transformado;
o efeito da transformação sobre o desvio padrão (como ele é alterado).
Informações relevantes fornecidas:
Os valores originais são \,2,4,4,7,10\,.
A transformação é linear e pode ser escrita como \mathrm{y}=3\mathrm{x}+6 (distribuindo o 3).
Passo 2
Vamos lembrar e calcular a média do conjunto original. Definição e fórmula:
A média aritmética de n valores x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde \bar{x} é a média e n é o número de observações.
Aplicando ao nosso conjunto (n=5):
\sum x_i = 2+4+4+7+10 = 27,
\bar{x}=\frac{27}{5}.
Passo 3
Como a transformação é linear do tipo \mathrm{y}=a\mathrm{x}+b (aqui a=3, b=6), a média transforma-se segundo a fórmula
\overline{y}=a\,\overline{x}+b.
Explicação curta do porquê: \overline{y}=\dfrac{1}{n}\sum (a x_i + b)=a\overline{x}+b.
Para um conjunto com número ímpar de observações, a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados.
O conjunto ordenado é \,2,4,4,7,10\, e o elemento central (terceiro) é 4. Logo a mediana original é 4.
A propriedade da transformação linear e monotônica: se \mathrm{y}=a\mathrm{x}+b com a>0, a ordem dos dados é preservada, então a mediana transforma-se como qualquer outro valor:
\text{mediana}_y = a\cdot\text{mediana}_x + b.
Aqui:
\text{mediana}_y = 3\cdot 4 + 6 = 12+6 = 18.
Passo 5
Agora a moda. Definição e aplicação:
A moda é o valor que ocorre com maior frequência no conjunto.
No conjunto original, o valor que aparece mais vezes é 4 (aparece duas vezes), então a moda original é 4.
Sob uma transformação linear injetora (a\neq 0), ocorrências se mantêm distintas e a moda é levada para a\cdot(\text{moda})+b. Assim:
\text{moda}_y = 3\cdot 4 + 6 = 18.
Passo 6
Efeito sobre o desvio padrão. Definição e propriedade:
A variância populacional é \sigma_x^2=\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2 e o desvio padrão é \sigma_x=\sqrt{\sigma_x^2}.
Se \mathrm{y}=a\mathrm{x}+b, então
\sigma_y^2 = \frac{1}{n}\sum (a x_i + b - (a\bar{x}+b))^2 = \frac{1}{n}\sum (a(x_i-\bar{x}))^2 = a^2\,\sigma_x^2.
Portanto
\sigma_y = |a|\,\sigma_x.
No nosso caso a=3, logo o desvio padrão é multiplicado por |3|=3. Observação: o termo b (a translação) não afeta o desvio padrão — apenas a escala a muda a dispersão.