Em um grupo de 5 amigas (Ana, Beatriz, Cecília, Déborah e Érica), sabe-se que Ana é um ano mais nova que Beatriz, que Beatriz é um ano mais nova que Cecília, que Cecilia é 3 anos mais velha que Déborah e que Déborah é 4 anos mais nova que Érica. A média das idades dessas 5 amigas é de 51 anos.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
A mediana das idades do grupo é de 51 anos. Certo ou Errado?

Passo 1

O enunciado dá um grupo de cinco amigas: Ana, Beatriz, Cecília, Déborah e Érica, e relaciona as idades entre elas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Informações fornecidas:
  • Ana é um ano mais nova que Beatriz: A = B - 1.
  • Beatriz é um ano mais nova que Cecília: B = C - 1.
  • Cecília é três anos mais velha que Déborah: C = D + 3.
  • Déborah é quatro anos mais nova que Érica: D = E - 4.
  • A média das idades das cinco amigas é de 51 anos.
O item a julgar:
  • A afirmação “A mediana das idades do grupo é de 51 anos.” — determinar se é certo ou errado.

Passo 2

Introduzindo uma notação simples: A,B,C,D,E representam as idades (em anos) de Ana, Beatriz, Cecília, Déborah e Érica, respectivamente. Vou combinar as igualdades dadas para expressar todas as idades em função de uma única variável (escolho D).
Das relações:
C = D + 3
B = C - 1 = (D + 3) - 1 = D + 2
A = B - 1 = (D + 2) - 1 = D + 1
E = D + 4\quad\text{(a partir de }D = E - 4\text{)}
Portanto, as idades escritas em termos de D são:
A = D + 1,\quad B = D + 2,\quad C = D + 3,\quad D = D,\quad E = D + 4.

Passo 3

Uso a condição da média: a média aritmética das cinco idades é 51. A média é a soma dividida pelo número de elementos, logo a soma das idades é 5\cdot51.
Escrevendo a soma em função de D:
(D) + (D+1) + (D+2) + (D+3) + (D+4) = 5D + 10.
Igualando à soma conhecida:
5D + 10 = 5\cdot 51 = 255.
Resolvendo para D:
5D = 255 - 10 = 245,
D = \dfrac{245}{5} = 49.

Passo 4

Com D = 49 podemos calcular todas as idades:
D = 49,
A = D + 1 = 50,
B = D + 2 = 51,
C = D + 3 = 52,
E = D + 4 = 53.
Ordenando as idades em ordem crescente obtemos:
49,\;50,\;51,\;52,\;53.
Definição prática de mediana (lembrete didático): para um conjunto com número ímpar de observações, a mediana é o valor que fica exatamente no meio quando as observações são ordenadas. Aqui, com 5 observações, a mediana é a terceira (a do meio) na lista ordenada. Na lista acima a terceira é 51.
Observação extra útil (fórmula/intuicão): para cinco números consecutivos a média aritmética coincide com o valor central — por isso a média 51 já dava uma forte pista de que o valor central (mediana) seria 51.

Resposta

Certo

Exercícios relacionados