Em um grupo de 5 amigas (Ana, Beatriz, Cecília, Déborah e Érica), sabe-se que Ana é um ano mais nova que Beatriz, que Beatriz é um ano mais nova que Cecília, que Cecilia é 3 anos mais velha que Déborah e que Déborah é 4 anos mais nova que Érica. A média das idades dessas 5 amigas é de 51 anos.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
A mediana das idades do grupo é de 51 anos. Certo ou Errado?
Passo 1
O enunciado dá um grupo de cinco amigas: Ana, Beatriz, Cecília, Déborah e Érica, e relaciona as idades entre elas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Informações fornecidas:
- Ana é um ano mais nova que Beatriz:
. - Beatriz é um ano mais nova que Cecília:
. - Cecília é três anos mais velha que Déborah:
. - Déborah é quatro anos mais nova que Érica:
. - A média das idades das cinco amigas é de
anos.
O item a julgar:
- A afirmação “A mediana das idades do grupo é de
anos.” — determinar se é certo ou errado.
Passo 2
Introduzindo uma notação simples:
representam as idades (em anos) de Ana, Beatriz, Cecília, Déborah e Érica, respectivamente. Vou combinar as igualdades dadas para expressar todas as idades em função de uma única variável (escolho
).
Das relações:
Portanto, as idades escritas em termos de
são:
Passo 3
Uso a condição da média: a média aritmética das cinco idades é
. A média é a soma dividida pelo número de elementos, logo a soma das idades é
.
Escrevendo a soma em função de
:
Igualando à soma conhecida:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com
podemos calcular todas as idades:
Ordenando as idades em ordem crescente obtemos:
Definição prática de mediana (lembrete didático): para um conjunto com número ímpar de observações, a mediana é o valor que fica exatamente no meio quando as observações são ordenadas. Aqui, com
observações, a mediana é a terceira (a do meio) na lista ordenada. Na lista acima a terceira é
.
Observação extra útil (fórmula/intuicão): para cinco números consecutivos a média aritmética coincide com o valor central — por isso a média
já dava uma forte pista de que o valor central (mediana) seria
.
Resposta
Certo