Um edital de pregão eletrônico foi aberto por determinado órgão público com vistas à seleção de propostas para a aquisição de material de consumo mediante registro de preços. O auditor responsável pelo exame preliminar do referido edital escolheu, em sua busca por possíveis inconformidades, 10 itens da licitação, tendo obtido os seguintes indicadores de sobrepreço por item ( X , em R$):
item examinado
indicador de
sobrepreço (\boldsymbol{X}, em RS )
1 1
2 3
3 0
4 0
5 0
6 2
7 5
8 4
9 3
10 3
A partir das informações presentes na situação hipotética apresentada, julgue o item que se segue.
0 desvio padrão amostral de X é inferior a R$ 2,00. Certo ou Errado?

Passo 1

O enunciado fornece os indicadores de sobrepreço da amostra com n=10 observações. Lista dos valores (peguei todos do enunciado):
X_1=1,\; X_2=3,\; X_3=0,\; X_4=0,\; X_5=0,\; X_6=2,\; X_7=5,\; X_8=4,\; X_9=3,\; X_{10}=3.
A pergunta a julgar é: “o desvio padrão amostral de X é inferior a R$ 2,00?” — ou seja, verificar se s<2,00.

Passo 2

O que é e como calcular o desvio padrão amostral:
  • O desvio padrão amostral s é a raiz quadrada da variância amostral s^{2}.
  • Fórmula da variância amostral (usada quando se estima a variância a partir de uma amostra):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2},
onde \overline{X} é a média amostral e n é o tamanho da amostra.
  • O fator n-1 (em vez de n) corrige o viés da estimativa da variância quando se usa a média amostral. Depois:
s=\sqrt{s^{2}}.

Passo 3

Calcular a média amostral \overline{X}.
Somando os valores (feita a soma com os dados do enunciado):
\sum_{i=1}^{10} X_i = 1+3+0+0+0+2+5+4+3+3 = 21.
Portanto
\overline{X}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i=\frac{21}{10}=2,1.

Passo 4

Calcular os quadrados das diferenças (X_i-\overline{X})^{2} um a um (mostrando o cálculo):
\begin{aligned} (X_1-\overline{X})^{2} &= (1-2,1)^{2}=(-1,1)^{2}=1,21,\\\ (X_2-\overline{X})^{2} &= (3-2,1)^{2}=(0,9)^{2}=0,81,\\\ (X_3-\overline{X})^{2} &= (0-2,1)^{2}=(-2,1)^{2}=4,41,\\\ (X_4-\overline{X})^{2} &= (0-2,1)^{2}=4,41,\\\ (X_5-\overline{X})^{2} &= (0-2,1)^{2}=4,41,\\\ (X_6-\overline{X})^{2} &= (2-2,1)^{2}=(-0,1)^{2}=0,01,\\\ (X_7-\overline{X})^{2} &= (5-2,1)^{2}=(2,9)^{2}=8,41,\\\ (X_8-\overline{X})^{2} &= (4-2,1)^{2}=(1,9)^{2}=3,61,\\\ (X_9-\overline{X})^{2} &= (3-2,1)^{2}=0,81,\\\ (X_{10}-\overline{X})^{2} &= (3-2,1)^{2}=0,81. \end{aligned}

Passo 5

Somar todos os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline{X})^{2}=1,21+0,81+4,41+4,41+4,41+0,01+8,41+3,61+0,81+0,81.
Fazendo a soma:
\sum_{i=1}^{10}(X_i-\overline{X})^{2}=28,90.

Passo 6

Calcular a variância e o desvio padrão amostral:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}=\frac{28,90}{10-1}=\frac{28,90}{9}=\frac{289}{90}\approx3,211\ldots
e
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{289}{90}}=\frac{17}{3\sqrt{10}}\approx1,792\ldots
Portanto s\approx1,79, que é menor que 2,00.

Passo 7

Interpretação final: o valor do desvio padrão amostral calculado é aproximadamente 1,79, logo a afirmação "o desvio padrão amostral de X é inferior a R$ 2,00" é correta.

Resposta

Certo

Exercícios relacionados