O conjunto \alpha=\left\{2 x^{2}+x+2, x^{2}, x, 1\right\} é LI ou LD em P_{3}(x) ? E qualquer subconjunto de \alpha com três elementos?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
\alpha=\{\,2x^{2}+x+2,\;x^{2},\;x,\;1\}
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) no espaço vetorial P_{3}(x) (polinômios de grau <=3). Em seguida, devemos fazer o mesmo para qualquer subconjunto de \alpha com três elementos.
Conteúdo: dependência linear, dimensão de subespaços, sistema de equações para coeficientes.

Passo 2

Observação de dimensão: embora P_{3}(x) tenha dimensão 4, todos os polinômios de \alpha são de grau <=2, logo vivem no subespaço P_{2}(x), que tem dimensão 3. Num espaço de dimensão 3, qualquer conjunto com 4 vetores é necessariamente linearmente dependente.

Passo 3

Para confirmar, suponhamos
c_{1}(2x^{2}+x+2)\;+\;c_{2}x^{2}\;+\;c_{3}x\;+\;c_{4}\cdot1\;=\;0
para todo x\). Igualando coeficientes de \(x^{2},x,1\), obtemos o sistema \[\begin{cases} 2c_{1}+c_{2}=0,\\\ c_{1}+c_{3}=0,\\\\ 2c_{1}+c_{4}=0. \end{cases}
Esse sistema admite solução não trivial, por exemplo c_{1}=1\], \(c_{2}=-2, c_{3}=-1, c_{4}=-2. Logo \alpha é linearmente dependente.

Passo 4

O subespaço gerado por \alpha é exatamente P_{2}(x), de dimensão 3. Dessa dependência obtivemos, por exemplo,
2x^{2}+x+2 \;=\;2\,(x^{2})\;+\;1\,(x)\;+\;2\,(1).
Dessa relação segue que qualquer um dos quatro polinômios pode ser escrito como combinação linear dos outros três. Assim, se removermos um elemento de \alpha, os três restantes continuam gerando todo P_{2}(x) e, por terem dimensão igual ao número de vetores, são linearmente independentes. Portanto, todo subconjunto de \alpha com três elementos é LI.

Resposta

\alpha é linearmente dependente e todo subconjunto de \alpha com três elementos é linearmente independente.

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