O conjunto
é LI ou LD em
? E qualquer subconjunto de
com três elementos?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) no espaço vetorial (polinômios de grau
). Em seguida, devemos fazer o mesmo para qualquer subconjunto de
com três elementos.
Conteúdo: dependência linear, dimensão de subespaços, sistema de equações para coeficientes.
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) no espaço vetorial
Conteúdo: dependência linear, dimensão de subespaços, sistema de equações para coeficientes.
Passo 2
Observação de dimensão: embora
tenha dimensão
, todos os polinômios de
são de grau
, logo vivem no subespaço
, que tem dimensão
. Num espaço de dimensão
, qualquer conjunto com
vetores é necessariamente linearmente dependente.
Passo 3
Para confirmar, suponhamos
para todo
Esse sistema admite solução não trivial, por exemplo
,
,
. Logo
é linearmente dependente.
Passo 4
O subespaço gerado por
é exatamente
, de dimensão
. Dessa dependência obtivemos, por exemplo,
Dessa relação segue que qualquer um dos quatro polinômios pode ser escrito como combinação linear dos outros três. Assim, se removermos um elemento de
, os três restantes continuam gerando todo
e, por terem dimensão igual ao número de vetores, são linearmente independentes. Portanto, todo subconjunto de
com três elementos é LI.