Encontre um vetor do \mathbb{R}^{3}, tal que [v]=W_{1} \cap W_{2}, onde W_{1}[(1,2,3),(1,-1,1)] e W_{2} é o plano-xy.

Passo 1

O enunciado pede um vetor não nulo v\in\mathbb{R}^3 que pertença simultaneamente a
W_{1}=\text{span}\{(1,2,3),(1,-1,1)\} e ao plano W_{2}=\{(x,y,z)\mid z=0\}.
Conteúdo: interseção de subespaços em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Escrevemos um vetor genérico de W_{1} como combinação linear dos geradores:
v \;=\; a\,(1,2,3)\;+\;b\,(1,-1,1) \;=\;(a+b,\;2a - b,\;3a + b).

Passo 3

Para que v pertença a W_{2}, precisamos de z=0. Da terceira coordenada:
3a + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -3a.

Passo 4

Substituindo b=-3a em v obtemos
v = \bigl(a-3a,\;2a-(-3a),\;0\bigr) =\bigl(-2a,\;5a,\;0\bigr) =a\,(-2,5,0).
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W_{1}\cap W_{2}=\text{span}\{(-2,5,0)\}.

Resposta

Uma opção de vetor para gerar W_{1}\cap W_{2} é
v = (-2,\,5,\,0).

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