Para que um conjunto, associado a um corpo e as operações de adição entre seus elementos e multiplicação de seus elementos e um escalar, seja considerado um espaço vetorial, deve satisfazer aos 10 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são espaços vetoriais, verificando a validade de cada axioma.
, o conjunto das
-uplas ordenadas
de escalares
do corpo
, um corpo qualquer.
Escalares
Adição
Multiplicação por escalar
Adição
Multiplicação por escalar
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
das n-uplas de elementos de um corpo
, com a adição definida por
e a multiplicação por escalar definida por
satisfaz os 10 axiomas de espaço vetorial. O conteúdo é Álgebra Linear e vamos precisar apenas das propriedades do corpo
(fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro e inverso em soma e produto) para verificar cada axioma.
Passo 2
(Fechamento em adição) Dados
e
em
, cada
pertence a
pelo fechamento da adição em
. Logo
mostrando o fechamento em adição.
Passo 3
(Comutatividade da adição) Para
temos em cada componente
pela comutatividade em
. Assim
Passo 4
(Associatividade da adição) Para
e cada
pela associatividade em
. Logo
Passo 5
(Existência do vetor nulo) Defina
. Para qualquer
pois
é o neutro da adição em
.
Passo 6
(Existência do inverso aditivo) Para
defina
. Então
pois em
cada
.
Passo 7
(Fechamento em multiplicação por escalar) Para
e
, cada
pelo fechamento da multiplicação em
. Portanto
Passo 8
(Distributividade escalar–vetor) Para
e
, em cada componente
pela distributividade em
. Assim
Passo 9
(Distributividade escalar–escalar) Para
e
, em cada componente
pela distributividade em
. Logo
Passo 10
(Associatividade da multiplicação escalar) Para
e
, em cada componente
pela associatividade da multiplicação em
. Logo
Passo 11
(Elemento neutro escalar) Seja
o elemento identidade de
. Então para todo
Resposta
Todas as dez propriedades estão satisfeitas; logo
, com adição e multiplicação por escalar definidas componente a componente, é de fato um espaço vetorial sobre
.