Para que um conjunto, associado a um corpo e as operações de adição entre seus elementos e multiplicação de seus elementos e um escalar, seja considerado um espaço vetorial, deve satisfazer aos 10 axiomas. Verifique que os conjuntos abaixo, com as operações dadas, são espaços vetoriais, verificando a validade de cada axioma.
K^n, o conjunto das n-uplas ordenadas (x1, x2, ldots, xn) de escalares xi do corpo K, um corpo qualquer.
Escalares alpha in K
Adição (x1, x2, ldots, xn)+(y1, y2, ldots, yn)=(x1+y1, x2+y2, ldots, xn+yn)
Multiplicação por escalar alpha(x1, x2, ldots, xn)=(alpha x1, alpha x2, ldots, alpha xn)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto K^n das n-uplas de elementos de um corpo K, com a adição definida por
(x1,dots,xn)+(y1,dots,yn) = (x1+y1,dots,xn+yn)
e a multiplicação por escalar definida por
alpha(x1,dots,xn) = (alpha x1,dots,alpha xn),
satisfaz os 10 axiomas de espaço vetorial. O conteúdo é Álgebra Linear e vamos precisar apenas das propriedades do corpo K (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro e inverso em soma e produto) para verificar cada axioma.

Passo 2

(Fechamento em adição) Dados x=(x1,dots,xn) e y=(y1,dots,yn) em K^n, cada xi+yi pertence a K pelo fechamento da adição em K. Logo
x+y=(x1+y1,dots,xn+yn)inK^n,
mostrando o fechamento em adição.

Passo 3

(Comutatividade da adição) Para x,yinK^n temos em cada componente
xi+yi = yi+xi
pela comutatividade em K. Assim
x+y=(x1+y1,dots)=(y1+x1,dots)=y+x

Passo 4

(Associatividade da adição) Para x,y,zinK^n e cada i
(xi+yi)+zi = xi+(yi+zi)
pela associatividade em K. Logo
(x+y)+z = x+(y+z)

Passo 5

(Existência do vetor nulo) Defina 0=(0,dots,0). Para qualquer x=(x1,dots,xn)
x+0=(x1+0,dots,xn+0)=(x1,dots,xn)=x,
pois 0 é o neutro da adição em K.

Passo 6

(Existência do inverso aditivo) Para x=(x1,dots,xn) defina -x=(-x1,dots,-xn). Então
x+(-x)=(x1-x1,dots,xn-xn)=(0,dots,0)=0,
pois em K cada xi+(-xi)=0.

Passo 7

(Fechamento em multiplicação por escalar) Para alphainK e xinK^n, cada alpha xiinK pelo fechamento da multiplicação em K. Portanto
alphax=(alpha x1,dots,alpha xn)inK^n

Passo 8

(Distributividade escalar–vetor) Para alphainK e x,yinK^n, em cada componente
alpha(xi+yi) = alpha xi + alpha yi
pela distributividade em K. Assim
alpha(x+y) = alphax + alphay

Passo 9

(Distributividade escalar–escalar) Para alpha,betainK e xinK^n, em cada componente
(alpha+beta)xi = alpha xi + beta xi
pela distributividade em K. Logo
(alpha+beta)x = alphax + betax

Passo 10

(Associatividade da multiplicação escalar) Para alpha,betainK e xinK^n, em cada componente
alpha(beta xi) = (alphabeta)xi
pela associatividade da multiplicação em K. Logo
alpha(betax) = (alphabeta)x

Passo 11

(Elemento neutro escalar) Seja 1 o elemento identidade de K. Então para todo xinK^n
1x=(1cdot x1,dots,1cdot xn)=(x1,dots,xn)=x

Resposta

Todas as dez propriedades estão satisfeitas; logo K^n, com adição e multiplicação por escalar definidas componente a componente, é de fato um espaço vetorial sobre K.

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