Considere as seguintes funções de em : , .
a) Demonstre que e são conjuntos L.I de vetores.
b) Mostre que cada pode ser escrito como combinação linear dos . Use para isto as conhecidas relações e .
c) Calcule a matriz de mudança da base para a base . Se um vetor na base tem coordenadas ( ). Quais são as suas coordenadas na base ?
OBS: Note que , em que é o espaço vetorial de dimensão 3 gerado pelos . Como o conjunto é L.I, tem três elementos e está contido no espaço vetorial que tem dimensão 3 , então é uma base ordenada do espaço vetorial . Outra maneira de ver que é uma base é verificar que a matriz que escreve em termos de é inversível. Como vimos, toda matriz inversível define uma matriz de mudança de base e, portanto, é outra base para .
Passo 1
O enunciado define em as bases
e
Precisamos:
a) mostrar que e são LI;
b) escrever cada como combinação linear de ;
c) achar a matriz que leva coordenadas em para coordenadas em e, com ela, transformar o vetor dado em -coordenadas em suas -coordenadas.
Passo 2
Para seja
Isso é
Avalie em : . Em : . Em : . Em :
Dessas três equações deduz-se imediatamente . Logo é LI.
Passo 3
Para seja
isto é
Avalie em : . . .
Das duas primeiras vem e . A terceira dá , logo . Assim é LI.
Passo 4
Usando
vemos
Passo 5
Daí a matriz que escreve em coordenadas de (coluna coordenadas de na base ) é
Para mudar de coordenadas em B para coordenadas em C precisamos de P=A^-1. Em vez de inverter matricialmente, resolvemos
A,(uC)=uB,
sabendo que uB=(0,tfrac12,tfrac12). As duas últimas linhas dão, ao multiplicar por 2,
uC^(2)+1i,uC^(3)=1, uC^(2)-1i,uC^(3)=1
Somando obtemos 2,uC^(2)=2implies uC^(2)=1. Subtraindo obtemos 2,tfrac1i,uC^(3)=0implies uC^(3)=0. Da primeira linha vem uC^(1)=uB^(1)=0.