Considere as seguintes funções de R em C : f1(x)=1, f2(x)=e^i x, f3(x)=e^-i x, g1(x)=1, g2(x)=cos (x), g3(x)=sen(x).
a) Demonstre que f1, f2, f3 e g1, g2, g3 são conjuntos L.I de vetores.
b) Mostre que cada gi pode ser escrito como combinação linear dos fi. Use para isto as conhecidas relações cos (x)=e^i x+e^-i x2 e sen(x)=e^i x-e^-i x2 i.
c) Calcule a matriz de mudança da base B=(f1, f2, f3) para a base C=(g1, g2, g3). Se um vetor u na base B tem coordenadas ( 0, 12, 12 ). Quais são as suas coordenadas na base C ?
OBS: Note que gi in[f1, f2, f3], em que [f1, f2, f3] é o espaço vetorial de dimensão 3 gerado pelos fi. Como o conjunto g1, g2, g3 é L.I, tem três elementos e está contido no espaço vetorial [f1, f2, f3] que tem dimensão 3 , então (g1, g2, g3) é uma base ordenada do espaço vetorial [f1, f2, f3]. Outra maneira de ver que (g1, g2, g3) é uma base é verificar que a matriz que escreve gi em termos de fi é inversível. Como vimos, toda matriz inversível define uma matriz de mudança de base e, portanto, (g1, g2, g3) é outra base para [f1, f2, f3].

Passo 1

O enunciado define em V=,funções RtoCçõ as bases
B=(f1,f2,f3)com f1(x)=1,;f2(x)=e^ix,;f3(x)=e^-ix,
e
C=(g1,g2,g3)com g1(x)=1,;g2(x)=cos x,;g3(x)=sin x
Precisamos:
a) mostrar que fi e gi são LI;
b) escrever cada gi como combinação linear de fi;
c) achar a matriz que leva coordenadas em B para coordenadas em C e, com ela, transformar o vetor u dado em B-coordenadas l(0,tfrac12,tfrac12r) em suas C-coordenadas.

Passo 2

Para f1,f2,f3 seja
a1f1(x)+a2f2(x)+a3f3(x)=0forall x
Isso é
a1 + a2 e^ix + a3 e^-ix=0forall x
Avalie em x=0, pi, tfracpi2:
1. Em x=0: a1+a2+a3=0 2. Em x=pi: a1 - a2 - a3=0 3. Em x=tfracpi2: a1 + i,a2 - i,a3=0
Dessas três equações deduz-se imediatamente a1=a2=a3=0. Logo fi é LI.

Passo 3

Para g1,g2,g3 seja
b1g1(x)+b2g2(x)+b3g3(x)=0forall x,
isto é
b1 + b2cos x + b3sin x =0forall x
Avalie em x=0, tfracpi2, pi:
1. x=0:;b1 + b2=0 2. x=tfracpi2:;b1 + b3=0 3. x=pi:;b1 - b2=0
Das duas primeiras vem b2=-b1 e b3=-b1. A terceira dá b1-b2=0implies b1+b1=0implies b1=0, logo b2=b3=0. Assim gi é LI.

Passo 4

Usando
cos x=e^ix+e^-ix2, sin x=e^ix-e^-ix2i
vemos
g1 = f1, g2 = f2+f32, g3 = f2 - f32,i

Passo 5

Daí a matriz A que escreve gj em coordenadas de B (coluna j = coordenadas de gj na base B) é
A = 1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & tfrac12i 0 & tfrac12 & -tfrac12i
Para mudar de coordenadas em B para coordenadas em C precisamos de P=A^-1. Em vez de inverter matricialmente, resolvemos
A,(uC)=uB,
sabendo que uB=(0,tfrac12,tfrac12). As duas últimas linhas dão, ao multiplicar por 2,
uC^(2)+1i,uC^(3)=1, uC^(2)-1i,uC^(3)=1
Somando obtemos 2,uC^(2)=2implies uC^(2)=1. Subtraindo obtemos 2,tfrac1i,uC^(3)=0implies uC^(3)=0. Da primeira linha vem uC^(1)=uB^(1)=0.

Resposta

A matriz de mudança de base de B para C satisfaz
uC = A^-1,uB,
onde, explicitamente, a regra de transformação é
uC^(1) = uB^(1), uC^(2) = uB^(2) + uB^(3), uC^(3) = il(uB^(2) - uB^(3)r)
Para uB=(0,tfrac12,tfrac12) isso dá
uC = l(0,;1,;0r)

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