Obtenha uma base para o subespaço das funções contínuas gerado por
. Qual a dimensão desse espaço?
Passo 1
O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço de funções contínuas gerado por
. Vamos usar identidades trigonométricas para detectar dependências lineares e depois testar a independência dos geradores restantes.
Passo 2
Usamos a identidade
que mostra que
já está no span de
. Portanto podemos eliminar
e reduzir o gerador a
.
Passo 3
Mostramos que
e
são linearmente independentes. Suponha
Escolhendo
obtemos
, logo
. Escolhendo
obtemos
, logo
. Assim só existe a combinação trivial, confirmando a independência.
Resposta
Uma base é
e a dimensão desse espaço é
.