Obtenha uma base para o subespaço das funções contínuas gerado por sen(t), sen(2 t), sen(t) cos (t). Qual a dimensão desse espaço?

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço de funções contínuas gerado por
sin(t),,sin(2t),,sin(t)cos(t). Vamos usar identidades trigonométricas para detectar dependências lineares e depois testar a independência dos geradores restantes.

Passo 2

Usamos a identidade
sin(t)cos(t)=tfrac12sin(2t),
que mostra que sin(t)cos(t) já está no span de sin(2t). Portanto podemos eliminar sin(t)cos(t) e reduzir o gerador a
sin(t),,sin(2t).

Passo 3

Mostramos que sin(t) e sin(2t) são linearmente independentes. Suponha
a,sin(t)+b,sin(2t)=0forall t
Escolhendo t=tfracpi2 obtemos acdot1+bcdot0=0, logo a=0. Escolhendo t=tfracpi4 obtemos 0+bcdot1=0, logo b=0. Assim só existe a combinação trivial, confirmando a independência.

Resposta

Uma base é sin(t),,sin(2t) e a dimensão desse espaço é 2.

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