O conjunto B=\{(1,-1),(0,1)\} é uma base do \mathbb{R}^{2} em relação ao produto interno
\left(x_{1}, y_{1}\right) \cdot\left(x_{2}, y_{2}\right)=x_{1} \cdot x_{2}+2 y_{1} \cdot y_{2}
Determinar a partir de B uma base ortonormal, use o processo de GramSchmidt.
\text { OBS: }|u|=\sqrt{u \cdot u}

Passo 1

O enunciado nos dá a base B=\{v_{1},v_{2}\} de \mathbb{R}^{2} com
v_{1}=(1,-1), \quad v_{2}=(0,1)
e o produto interno
(x_{1},y_{1})\cdot(x_{2},y_{2})=x_{1}x_{2}+2\,y_{1}y_{2}.
Queremos, usando o processo de Gram–Schmidt, construir vetores ortonormais \{e_{1},e_{2}\} que formem base.

Passo 2

Definimos
u_{1}=v_{1}=(1,-1).
Calculamos o quadrado da norma usando o produto interno:
\|u_{1}\|^{2}=u_{1}\cdot u_{1} =1\cdot1+2\cdot(-1)\cdot(-1) =1+2 =3.
Logo
\|u_{1}\|=\sqrt{3} \quad\text{e}\quad e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|} =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).

Passo 3

Agora projetamos v_{2} sobre u_{1} e subtraímos para obter u_{2}:
v_{2}\cdot u_{1} =0\cdot1 + 2\cdot1\cdot(-1) =-2, \qquad u_{1}\cdot u_{1}=3,
\mathrm{proj}_{u_{1}}(v_{2}) =\frac{v_{2}\cdot u_{1}}{u_{1}\cdot u_{1}}\,u_{1} =\frac{-2}{3}(1,-1) =\Bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr),
u_{2} =v_{2}-\mathrm{proj}_{u_{1}}(v_{2}) =(0,1)-\Bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr).
Calculamos a norma de u_{2}:
\|u_{2}\|^{2} =\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2} +2\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{2} =\tfrac{4}{9}+\tfrac{2}{9} =\tfrac{6}{9} =\tfrac{2}{3},
\|u_{2}\|=\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Normalizamos u_{2} para obter e_{2}:
e_{2} =\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|} =\Bigl(\tfrac{2/3}{\sqrt{2/3}},\;\tfrac{1/3}{\sqrt{2/3}}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{6}},\;\tfrac{1}{\sqrt{6}}\Bigr).

Resposta

Uma base ortonormal, no produto interno dado, é
e_{1}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr), \quad e_{2}=\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{6}},\tfrac{1}{\sqrt{6}}\Bigr).

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