Verificar se S é um subespaço de \mathbb{R}^{3} (utilize a adição e a multiplicação por escalar usual)
S=\{(x, y, z) \mid x=-y+1, z=y+1\}

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=-y+1,\;z=y+1\}
e pede para verificar se S é um subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, usamos os critérios de subespaço vetorial:
  1. conter o vetor zero;
  2. ser fechado sob adição;
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o primeiro critério, a presença do vetor zero (0,0,0) em S. Se (x,y,z)=(0,0,0) estivesse em S, teríamos
x = -y+1 \;\Longrightarrow\; 0 = -0 + 1 = 1,
o que é falso. Logo (0,0,0)\notin S.
Como um subespaço deve obrigatoriamente conter o vetor zero, concluímos que S não satisfaz esse requisito.

Resposta

S não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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