Verificar se o conjunto B=\{(5,1,0),(-5,0,-10)\} é base para um subespaço do \mathbb{R}^{3}, descreva o espaço.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se B=\{(5,1,0),(-5,0,-10)\} é base de algum subespaço de \mathbb{R}^3. Para isso, precisamos testar se os dois vetores são linearmente independentes. Se forem, então formam base de seu próprio span, que será um subespaço de dimensão 2. Em seguida, descreveremos esse subespaço.

Passo 2

Para testar independência, consideramos a combinação linear nula:
a(5,1,0)+b(-5,0,-10)=(0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 5a-5b=0,\\\ a=0,\\\\ -10b=0. \end{cases}
Da segunda equação vem a=0. Da terceira vem b=0. Substituindo na primeira confirma-se 0=0. Como a única solução é a=b=0, os vetores são independentes.

Passo 3

Sendo independentes em \mathbb{R}^3 e tendo apenas dois vetores, eles formam base do subespaço
W = \mathrm{span}\{(5,1,0),\,(-5,0,-10)\},
que é um plano passando pela origem. Em forma paramétrica:
W = \{\,s(5,1,0)+t(-5,0,-10)\mid s,t\in\mathbb{R}\}.

Passo 4

Para descrever W implicitamente, encontramos um vetor normal ao plano. Calculando o produto vetorial:
(5,1,0)\times(-5,0,-10)=(-10,50,5),
que simplifica para (-2,10,1) ao dividir por 5. Logo, o plano é dado por
-2x+10y+z=0
ou, equivalentemente,
2x-10y-z=0.

Resposta

B é base de um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^3, que é o plano
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 2x-10y-z=0\}.

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