Um conjunto cilindro-pistão apresenta 0,1 \mathrm{~kg} de vapor d’água saturado seco 40^{\circ} \mathrm{C}. A água é então comprimida segundo um processo de quase-equilíbrio isotérmico até que o seu título seja 40 \%. Determinar o trabalho realizado durante o processo.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que foi dado):\n
Temos 0{,}1\\ \mathrm{kg} de vapor d’água saturado seco à temperatura 40^\circ\mathrm{C}. O vapor é comprimido de forma quase-equilíbrio, isotermicamente a 40^\circ\mathrm{C}, até que o título (qualidade) final seja 40\%. A tarefa é determinar o trabalho realizado durante esse processo. Dados extraídos do enunciado:\n
\,m=0{,}1\\ \mathrm{kg}\n
Estado inicial: vapor saturado seco \Rightarrow título inicial x_1=1\n
Temperatura constante durante o processo: T=40^\circ\mathrm{C}\n
Título final: x_2=0{,}40\n
O que nos será necessário (listagem): pressão de saturação em 40^\circ\mathrm{C} (usarei o valor das tabelas de vapor), volumes específicos do líquido saturado \,v_f e do vapor saturado \,v_g à 40^\circ\mathrm{C}, e a relação entre volume específico, título e massa para calcular os volumes totais. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessárias (aulas curtinhas e diretas):\n
  1. Qualidade (título) e volume específico de mistura:\n
\text{o título }x\text{ é a fração em massa do vapor na mistura.}íéçã\n
\text{O volume específico da mistura é }v = v_f + x\,(v_g - v_f),íé\n
onde \,v_f é o volume específico do líquido saturado e \,v_g é o volume específico do vapor saturado. Aqui v tem unidades \mathrm{m^3/kg}. Explicação rápida: a mistura é uma combinação linear entre o líquido e o vapor por fração de massa.\n
2) Volume total do fluido no cilindro-pistão:\n
V = m\,v,\n
onde m é a massa (em \mathrm{kg}) e v o volume específico (em \mathrm{m^3/kg}), resultando em V em \mathrm{m^3}.\n
3) Trabalho para processo quase-estático em pistão:\n
W = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV.\n
Observação importante para este problema: sendo o processo isotérmico e a mistura permanecendo na região bifásica (saturada) à 40^\circ\mathrm{C}, a pressão durante todo o processo é a pressão de saturação à 40^\circ\mathrm{C}, ou seja a pressão é constante. Assim a integral simplifica para\n
W = p\,(V_2 - V_1).\n
Convenção de sinais (esclarecimento): aqui uso a convenção usual termodinâmica onde W>0 significa trabalho feito pelo sistema sobre o entorno. Em compressão V_2<V_1 e portanto W ficará negativo (o sistema recebe trabalho).

Passo 3

Obtenção dos dados termodinâmicos à 40^\circ\mathrm{C} e justificativa das escolhas:\n
  1. Pressão de saturação à 40^\circ\mathrm{C}: valor de tabela (tabelas de vapor d’água) \,p_{sat}=7{,}384\\ \mathrm{kPa}=7{,}384\\ \mathrm{Pa}.\n
  2. Volume específico do líquido saturado à 40^\circ\mathrm{C}: valor de tabela \,v_f\approx0{,}001008\\ \mathrm{m^3/kg}.\n
  3. Volume específico do vapor saturado \,v_g à 40^\circ\mathrm{C}: posso usar a equação de estado do gás ideal como boa aproximação aqui, porque a pressão é baixa e o vapor saturado está num regime próximo do ideal. A lei dos gases ideais para vapor d’água (por massa) é\n
v_g \approx \frac{R\,T}{p_{sat}},\n
onde R=461{,}52\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} é a constante do vapor d’água e T é a temperatura absoluta. Calculo:\n
T = 40^\circ\mathrm{C} = 313{,}15\\ \mathrm{K},\n
v_g \approx \frac{461{,}52\cdot 313{,}15}{7{,}384}= \frac{144{,}525{,} \text{(aprox.)}}{7{,}384}\approx 19{,}57\\ \mathrm{m^3/kg}.\n
Observação: este valor está consistente com o uso da pressão de saturação das tabelas; o uso do gás ideal aqui é aceitável para estimar v_g com boa precisão nesta condição de baixa pressão.

Passo 4

Cálculo dos volumes específicos inicial e final e dos volumes totais (passo a passo numérico):\n
  1. Estado inicial: vapor saturado seco \Rightarrow x_1=1. Logo o volume específico inicial é\n
v_1 = v_g \approx 19{,}57\\ \mathrm{m^3/kg}.\n
O volume total inicial é\n
V_1 = m\,v_1 = 0{,}1\cdot 19{,}57 = 1{,}95699\\ \mathrm{m^3}\approx 1{,}957\\ \mathrm{m^3}.\n
  1. Estado final: título x_2=0{,}40. O volume específico final é\n
v_2 = v_f + x_2\,(v_g - v_f).\n
Substituindo os números:\n
v_2 \approx 0{,}001008 + 0{,}40\,(19{,}57 - 0{,}001008).\n
Calculemos o termo interno:\n
19{,}57 - 0{,}001008 \approx 19{,}568992,\n
0{,}40\cdot 19{,}568992 \approx 7{,}827597,\n
v_2 \approx 0{,}001008 + 7{,}827597 \approx 7{,}828605\\ \mathrm{m^3/kg}.\n
O volume total final é\n
V_2 = m\,v_2 = 0{,}1\cdot 7{,}828605 \approx 0{,}7828605\\ \mathrm{m^3}\approx 0{,}78286\\ \mathrm{m^3}.

Passo 5

Cálculo do trabalho usando W = p\,(V_2 - V_1) e interpretação do sinal:\n
  1. Variação de volume:\n
\Delta V = V_2 - V_1 \approx 0{,}7828605 - 1{,}95699 = -1{,}1741295\\ \mathrm{m^3}.\n
  1. Trabalho (usando p_{sat}=7{,}384\\ \mathrm{Pa}):\n
W = p_{sat}\,\Delta V = 7{,}384\cdot(-1{,}1741295)\\ \mathrm{J}.\n
Multiplicando:\n
W \approx -8{,}669{,}8\\ \mathrm{J}\approx -8{,}67\times 10^{3}\\ \mathrm{J} = -8{,}67\\ \mathrm{kJ}.\n
Interpretação do sinal: W<0 significa que o sistema recebeu trabalho (processo de compressão). Se preferirmos falar do trabalho realizado sobre o sistema (módulo, valor positivo), então esse valor é +8{,}67\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

W = -8{,}67\\ \mathrm{kJ} (trabalho realizado pelo sistema, negativo porque houve compressão)\n
Trabalho realizado sobre o sistema: 8{,}67\\ \mathrm{kJ}

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