Você quer projetar uma tubulação de
para o chuveiro da piscina de sua casa, de forma a garantir uma vazão mínima
. A caixa d’'agua de sua casa fica sob o telhado a uma altura
, mas o comprimento total do tubo necessário é de
. Supondo que você precisará incluir na tubulação uma válvula gaveta, uma válvula de esfera e cinco joelhos (
), é que o chuveiro que você pretende comprar trabalha com uma pressão manométrica mínima de 2 metros de coluna d’água, determine o diâmetro mínimo da tubulação.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o diâmetro mínimo da tubulação de PVC (com rugosidade desprezível) que garante vazão mínima
usando uma caixa d’‘água com diferença de cota
. O comprimento total da tubulação é
. A tubulação terá uma válvula gaveta, uma válvula de esfera e cinco joelhos de
. O chuveiro exige pressão manométrica mínima de
de coluna d’'água na sua entrada.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
necessidade de pressão mínimo na saída
expresso como cabeça:
Além disso, a tubulação contém: 1 válvula gaveta, 1 válvula esfera e 5 joelhos
.
Passo 2
Vou usar o princípio da conservação de energia (Bernoulli simplificado) entre a superfície livre da caixa d’'água e a entrada do chuveiro, assumindo escoamento estacionário e perdas concentradas e distribuídas. Colocando tudo em termos de alturas (cabeças), a cabeça disponível da caixa é
e parte dela é consumida pela pressão mínima requerida no chuveiro
; o restante pode ser perdido por atrito e acessórios. Assim:
Aqui
é a perda total admissível (m). Substituindo valores:
Portanto todas as perdas (por atrito e por acessórios) não podem exceder
.
Passo 3
As perdas totais são soma das perdas por atrito ao longo do tubo
(modelo de Darcy–Weisbach) e das perdas localizadas
(válvulas, cotovelos):
onde:
-
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento da tubulação , -
é o diâmetro interno da tubulação — é a incógnita, -
é a soma dos coeficientes de perda local dos acessórios (adimensional), -
é a velocidade média do fluido , -
.
Vou agora relacionar
com
e estimar
.
Passo 4
Velocidade média
dada pela vazão e área da seção:
Substituindo
obtemos a expressão numérica útil:
Passo 5
Precisamos de
das perdas localizadas. O enunciado não dá os
s, então vou assumir valores típicos de referência (valores comuns em tabelas de hidráulica):
- válvula gaveta (aberta):
, - válvula esfera (aberta):
, - joelho
(curto raio, valor típico): cada.
Somando:
(Obs.: se você tiver outra tabela de
, basta substituir este valor e repetir os cálculos.)
Passo 6
Para o termo de atrito precisamos do fator
. Como a tubulação é PVC com
(muito lisa) e esperamos escoamento normalmente turbulento neste regime, vou usar a aproximação de Blasius válida para Reynolds moderados/turbulentos:
onde o número de Reynolds é
Tomarei a viscosidade cinemática da água a temperatura ambiente como
.
Agora expresso
em função de
. Usando
:
Então
Fazendo as contas das constantes (detalhe):
logo
Passo 7
Agora colocamos tudo na expressão de
. Reescrevendo
Substituo
em função de
,
em função de
,
,
e
. Após agrupar constantes (cálculos mostrados passo a passo):
Portanto
Calculando a constante multiplicativa:
resultando em
Queremos
. Agora faço tentativas numéricas (resolvendo por iteração simples) para achar o menor
que satisfaça
.
Tentativas (mostrando cálculos principais):
-
(2 cm):
cálculo dá(muito alto → diâmetro insuficiente). -
(3 cm):
cálculo dá(ainda > 5). -
:
(ligeiramente > 5). -
:
(muito próximo, ainda um pouquinho > 5). -
interpolando/ajustando:
produz .
Portanto o diâmetro mínimo que atende a restrição é aproximadamente
(33 mm).
Passo 8
Interpretação prática e recomendação: o cálculo numérico dá
. Como tubos comerciais vêm em bitolas padronizadas (por exemplo PVC DN32
, DN40
), a bitola comercial imediatamente acima de
é DN40. Ou seja, na prática eu escolheria DN40 para garantir folga e cobrir incertezas (variações de
, temperatura, perdas extras, tomada de pressão, etc.). Continue animado — você já conseguiu derivar e entender todo o raciocínio!