Você quer projetar uma tubulação de \mathrm{PVC}(\varepsilon / \mathrm{D} \approx 0) para o chuveiro da piscina de sua casa, de forma a garantir uma vazão mínima \mathrm{Q}=3 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. A caixa d’'agua de sua casa fica sob o telhado a uma altura \Delta \mathrm{h}=7 \mathrm{~m}, mas o comprimento total do tubo necessário é de \mathrm{L}=12 \mathrm{~m}. Supondo que você precisará incluir na tubulação uma válvula gaveta, uma válvula de esfera e cinco joelhos ( 90^{\circ} ), é que o chuveiro que você pretende comprar trabalha com uma pressão manométrica mínima de 2 metros de coluna d’água, determine o diâmetro mínimo da tubulação.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o diâmetro mínimo da tubulação de PVC (com rugosidade desprezível) que garante vazão mínima Q=3\\ \mathrm{L/s} usando uma caixa d’‘água com diferença de cota \Delta h=7\\ \mathrm{m}. O comprimento total da tubulação é L=12\\ \mathrm{m}. A tubulação terá uma válvula gaveta, uma válvula de esfera e cinco joelhos de 90^\circ. O chuveiro exige pressão manométrica mínima de 2\\ \mathrm{m} de coluna d’'água na sua entrada.
Informações relevantes dadas:
Q=3\\ \mathrm{L/s}=0{,}003\\ \mathrm{m^3/s},\quad \Delta h=7\\ \mathrm{m},\quad L=12\\ \mathrm{m},
necessidade de pressão mínimo na saída p_\text{req} expresso como cabeça:
h_\text{req}=2\\ \mathrm{m}.
Além disso, a tubulação contém: 1 válvula gaveta, 1 válvula esfera e 5 joelhos 90^\circ.

Passo 2

Vou usar o princípio da conservação de energia (Bernoulli simplificado) entre a superfície livre da caixa d’'água e a entrada do chuveiro, assumindo escoamento estacionário e perdas concentradas e distribuídas. Colocando tudo em termos de alturas (cabeças), a cabeça disponível da caixa é \Delta h e parte dela é consumida pela pressão mínima requerida no chuveiro h_\text{req}; o restante pode ser perdido por atrito e acessórios. Assim:
h_L = \Delta h - h_\text{req}.
Aqui h_L é a perda total admissível (m). Substituindo valores:
h_L = 7 - 2 = 5\\ \mathrm{m}.
Portanto todas as perdas (por atrito e por acessórios) não podem exceder 5\\ \mathrm{m}.

Passo 3

As perdas totais são soma das perdas por atrito ao longo do tubo h_f (modelo de Darcy–Weisbach) e das perdas localizadas h_m (válvulas, cotovelos):
h_L = h_f + h_m = \left(f\frac{L}{D} + \sum K\right)\frac{v^2}{2g},
onde:
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento da tubulação (\mathrm{m}),
  • D é o diâmetro interno da tubulação (\mathrm{m}) — é a incógnita,
  • \sum K é a soma dos coeficientes de perda local dos acessórios (adimensional),
  • v é a velocidade média do fluido (\mathrm{m/s}),
  • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Vou agora relacionar v com Q e estimar \sum K.

Passo 4

Velocidade média v dada pela vazão e área da seção:
v=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2}.
Substituindo Q=0{,}003\\ \mathrm{m^3/s} obtemos a expressão numérica útil:
v=\frac{4\cdot 0{,}003}{\pi D^2}=\frac{0{,}012}{\pi D^2}\approx\frac{0{,}0038197186}{D^2}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 5

Precisamos de \sum K das perdas localizadas. O enunciado não dá os Ks, então vou assumir valores típicos de referência (valores comuns em tabelas de hidráulica):
  • válvula gaveta (aberta): K_\text{gaveta}\approx 0{,}20,
  • válvula esfera (aberta): K_\text{esfera}\approx 0{,}05,
  • joelho 90^\circ (curto raio, valor típico): K_\text{joelho}\approx 0{,}30 cada.
Somando:
\sum K = 0{,}20 + 0{,}05 + 5\cdot 0{,}30 = 0{,}25 + 1{,}50 = 1{,}75.
(Obs.: se você tiver outra tabela de K, basta substituir este valor e repetir os cálculos.)

Passo 6

Para o termo de atrito precisamos do fator f. Como a tubulação é PVC com \varepsilon/D\approx 0 (muito lisa) e esperamos escoamento normalmente turbulento neste regime, vou usar a aproximação de Blasius válida para Reynolds moderados/turbulentos:
f=0{,}3164\\ \mathrm{Re}^{-0{,}25},
onde o número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{vD}{\nu}.
Tomarei a viscosidade cinemática da água a temperatura ambiente como \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Agora expresso \mathrm{Re} em função de D. Usando v=\dfrac{0{,}0038197186}{D^2}:
\mathrm{Re}=\frac{vD}{\nu}=\frac{0{,}0038197186}{D^2}\cdot\frac{D}{1\times10^{-6}}=\frac{3819{,}7186}{D}.
Então
f=0{,}3164\left(\frac{3819{,}7186}{D}\right)^{-0{,}25}.
Fazendo as contas das constantes (detalhe):
3819{,}7186^{ -0{,}25 }\approx 0{,}1273,\quad 0{,}3164\times0{,}1273\approx0{,}04028,
logo
f\approx 0{,}04028\,D^{0{,}25}.

Passo 7

Agora colocamos tudo na expressão de h_L. Reescrevendo
h_L=\left(f\frac{L}{D}+\sum K\right)\frac{v^2}{2g}.
Substituo f em função de D, v em função de D, L=12\\ \mathrm{m}, \sum K=1{,}75 e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Após agrupar constantes (cálculos mostrados passo a passo):
v^2=\left(\frac{0{,}0038197186}{D^2}\right)^2\approx\frac{1{,}459\times10^{-5}}{D^4},
f\frac{L}{D}=0{,}04028\,D^{0{,}25}\cdot\frac{12}{D}=0{,}48336\,D^{-0{,}75}.
Portanto
h_L= \left(0{,}48336\,D^{-0{,}75}+1{,}75\right)\frac{1{,}459\times10^{-5}}{2\cdot9{,}81}\,D^{-4}.
Calculando a constante multiplicativa:
\frac{1{,}459\times10^{-5}}{2\cdot9{,}81}\approx 7{,}437\times10^{-7},
resultando em
h_L \approx 7{,}437\times10^{-7}\left(0{,}48336\,D^{-4{,}75}+1{,}75\,D^{-4}\right).
Queremos h_L\le 5\\ \mathrm{m}. Agora faço tentativas numéricas (resolvendo por iteração simples) para achar o menor D que satisfaça h_L\le5.
Tentativas (mostrando cálculos principais):
  • D=0{,}020\\ \mathrm{m} (2 cm):
    cálculo dá h_L\approx 50{,}3\\ \mathrm{m} (muito alto → diâmetro insuficiente).
  • D=0{,}030\\ \mathrm{m} (3 cm):
    cálculo dá h_L\approx 7{,}77\\ \mathrm{m} (ainda > 5).
  • D=0{,}032\\ \mathrm{m}:
    h_L\approx 5{,}78\\ \mathrm{m} (ligeiramente > 5).
  • D=0{,}033\\ \mathrm{m}:
    h_L\approx 5{,}016\\ \mathrm{m} (muito próximo, ainda um pouquinho > 5).
  • interpolando/ajustando: D\approx 0{,}03303\\ \mathrm{m} produz h_L\approx 5{,}00\\ \mathrm{m}.
Portanto o diâmetro mínimo que atende a restrição é aproximadamente D_{\min}\approx 0{,}033\\ \mathrm{m} (33 mm).

Passo 8

Interpretação prática e recomendação: o cálculo numérico dá D_{\min}\approx 0{,}033\\ \mathrm{m}. Como tubos comerciais vêm em bitolas padronizadas (por exemplo PVC DN32 \approx 32\\ \mathrm{mm}, DN40 \approx 40\\ \mathrm{mm}), a bitola comercial imediatamente acima de 33\\ \mathrm{mm} é DN40. Ou seja, na prática eu escolheria DN40 para garantir folga e cobrir incertezas (variações de K, temperatura, perdas extras, tomada de pressão, etc.). Continue animado — você já conseguiu derivar e entender todo o raciocínio!

Resposta

D_{\min}\approx0{,}033\\ \mathrm{m}

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