3ª Questão: (10 pontos) As paredes de uma geladeira são geralmente compostas por uma chapa de aço ( \mathbf{k} \_aço \boldsymbol{=} \mathbf{5 0 ~ W} / \mathbf{m K} ) com \mathbf{1 , 5 ~ m m}, uma camada poliuretano ( \boldsymbol{k} \_poliu \boldsymbol{=} \mathbf{0 , 0 2 6 ~ W} / \mathbf{m K} ) com \mathbf{3 0 ~ m m} de espessura e um revestimento interno de plástico (k_plast =\mathbf{0 , 0 3} W/mK ) com \mathbf{2 , 0 ~ m m} de espessura. A geladeira está programada para operar com o ar interno a 8^{\circ} \mathrm{C}\left(\mathrm{hi}=6 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right) e está instalada em uma regiāo onde a temperatura ambiente na maioria dos dias é em torno de \mathbf{2 5}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C} (he \boldsymbol{=} \mathbf{1 6 ~ W} / \mathbf{m}^{2} \mathbf{K} ). Contudo, em situaçōes extremas, tais como uma onda de calor, a temperatura ambiente registrada foi igual a 38,6^{\circ} \mathrm{C}\left(h e=16 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). Considerando que a geladeira tem uma área superficial de 4,3 \mathrm{~m}^{2}, que a geladeira funcionou durante 5 h em condiçōes extremas e que o kWh custa R$0,95603119. a) Calcule quantos reais extras custou ao consumidor para deixar a geladeira funcionando num ambiente com temperatura igual a 38,6^{\circ} \mathrm{C}. b) Nas condiçōes anteriores, qual seria o gasto anual do consumidor caso a onda de calor tornasse permanente?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Quanto custou a mais, em reais, ao consumidor por ter deixado a geladeira funcionando durante 5 horas num ambiente a 38,6^\circ\mathrm{C} em vez de 25^\circ\mathrm{C}.
  2. (b) Se essa condição (ambiente a 38,6^\circ\mathrm{C}) se tornasse permanente, qual seria o gasto anual extra em reais.
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
  • Temperatura interna da geladeira: T_i = 8^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente normal: T_{a,n} = 25^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente extrema: T_{a,e} = 38,6^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de troca convectiva interno: h_i = 6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.
  • Coeficiente de troca convectiva externo: h_e = 16\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K} (dado igual para as duas condições ambientais).
  • Espessuras e condutividades das camadas da parede (da parte externa para a interna):
    • Chapa de aço: espessura 1,5\\ \mathrm{mm} e k_{\text{aço}} = 50\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}ç.
    • Poliuretano: espessura 30\\ \mathrm{mm} e k_{\text{poliu}} = 0,026\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}.
    • Revestimento plástico interno: espessura 2,0\\ \mathrm{mm} e k_{\text{plast}} = 0,03\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}.
  • Área superficial da geladeira: A = 4,3\\ \mathrm{m}^2.
  • Tempo de funcionamento em condições extremas: t = 5\\ \mathrm{h}.
  • Preço da energia: \text{preço} = \mathrm{R\$}\,0,95603119\\ \text{por kWh}ç.
Observação: a estratégia será modelar a transferência térmica entre o ar externo e o ar interno como uma resistência térmica equivalente por unidade de área (soma de resistências por convecção e por condução em série), calcular a vazão de calor (potência) nas duas situações (ambiente a 25^\circ\mathrm{C} e a 38,6^\circ\mathrm{C}), obter a diferença de potência, transformar em energia e multiplicar pelo preço. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Vamos montar o modelo de resistências térmicas em série (por unidade de área). A ideia: fluxo de calor por unidade de área q (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2) é dado por
q=\frac{T_{\text{ext}}-T_i}{R_\text{total}},
onde R_\text{total} é a resistência térmica total por unidade de área (em \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}). Explico as resistências individuais e as fórmulas que vamos usar:
  • Resistência convectiva externa (entre ar exterior e superfície externa):
R_{\text{conv,ext}}=\frac{1}{h_e},
onde h_e é o coeficiente de convecção externo (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}). Isso mede a “dificuldade” do calor atravessar a camada de ar junto à superfície externa.
  • Resistência da chapa de aço (condução através de uma placa):
R_{\text{aço}}=\frac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}},ççç
onde L_{\text{aço}}ç é a espessura (m) e k_{\text{aço}}ç a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{mK}).
  • Resistência do poliuretano:
R_{\text{poliu}}=\frac{L_{\text{poliu}}}{k_{\text{poliu}}}.
  • Resistência do revestimento plástico interno:
R_{\text{plast}}=\frac{L_{\text{plast}}}{k_{\text{plast}}}.
  • Resistência convectiva interna:
R_{\text{conv,int}}=\frac{1}{h_i}.
A resistência total por unidade de área será a soma:
R_{\text{total}}=R_{\text{conv,ext}}+R_{\text{aço}}+R_{\text{poliu}}+R_{\text{plast}}+R_{\text{conv,int}}.ç
Observação didática curta: cada resistência em série soma porque o fluxo de calor é o mesmo em todas as camadas; a queda de temperatura total T_{\text{ext}}-T_i se distribui entre essas resistências proporcionalmente.

Passo 3

Convertemos espessuras para metros e calculamos cada resistência (vou mostrar os cálculos com cuidado e explicar as unidades).
Converter espessuras:
  • L_{\text{aço}}=1,5\\ \mathrm{mm}=0,0015\\ \mathrm{m}ç.
  • L_{\text{poliu}}=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m}.
  • L_{\text{plast}}=2,0\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m}.
Agora cada resistência:
  • R_{\text{conv,ext}}=\dfrac{1}{h_e}=\dfrac{1}{16}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}=\;0,0625\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • R_{\text{aço}}=\dfrac{L_{\text{aço}}}{k_{\text{aço}}}=\dfrac{0,0015}{50}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}=\;0,00003\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.ççç
  • R_{\text{poliu}}=\dfrac{L_{\text{poliu}}}{k_{\text{poliu}}}=\dfrac{0,03}{0,026}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}\approx\;1,153846154\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • R_{\text{plast}}=\dfrac{L_{\text{plast}}}{k_{\text{plast}}}=\dfrac{0,002}{0,03}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}=\;0,0666666667\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • R_{\text{conv,int}}=\dfrac{1}{h_i}=\dfrac{1}{6}\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}\approx\;0,1666666667\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Comentário didático: repare que a resistência do poliuretano domina (é muito maior que as demais) porque o poliuretano tem baixa condutividade térmica e é relativamente espesso; isso é o que torna o isolamento eficiente.

Passo 4

Somamos todas as resistências para obter R_{\text{total}}:
R_{\text{total}}=0,0625+0,00003+1,153846154+0,0666666667+0,1666666667.
Agora somando cuidadosamente:
  • 0,0625+0,00003=0,06253.
  • 0,06253+1,153846154=1,216376154.
  • 1,216376154+0,0666666667=1,2830428207.
  • 1,2830428207+0,1666666667=1,4497094874.
Portanto
R_{\text{total}}\approx 1,449709487\\ \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W}.
Unidade-checagem: \mathrm{m}^2\mathrm{K}/\mathrm{W} é a unidade correta para resistência por unidade de área.

Passo 5

Calcular a vazão de calor por unidade de área q em cada condição usando
q=\frac{T_{\text{ext}}-T_i}{R_{\text{total}}}.
Primeiro, condição normal ( T_{a,n}=25^\circ\mathrm{C}):
\Delta T_n = T_{a,n}-T_i = 25-8 = 17\\ \mathrm{K}.
q_n = \frac{17}{1,449709487}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 \approx 11,727\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Potência total: \dot{Q}_n = q_n \cdot A.
\dot{Q}_n \approx 11,727\cdot 4,3\\ \mathrm{W} \approx 50,4261\\ \mathrm{W}.
Explicação: q_n é a potência por metro quadrado que entra na geladeira na condição normal; multiplicando pela área temos a potência total em watts.

Passo 6

Agora condição extrema ( T_{a,e}=38,6^\circ\mathrm{C}):
\Delta T_e = T_{a,e}-T_i = 38{,}6-8 = 30{,}6\\ \mathrm{K}.
q_e = \frac{30{,}6}{1,449709487}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 \approx 21{,}1109\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Potência total:
\dot{Q}_e = q_e \cdot A \approx 21{,}1109\cdot 4{,}3\\ \mathrm{W} \approx 90{,}7737\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Calcular a diferença de potência (extra) que a geladeira teve que remover durante a onda de calor:
\Delta \dot{Q}=\dot{Q}_e-\dot{Q}_n \approx 90{,}7737-50{,}4261 = 40{,}3476\\ \mathrm{W}.
Esse é o acréscimo de potência (em W) devido ao aumento da temperatura externa de 25^\circ\mathrm{C} para 38{,}6^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Converter esse acréscimo de potência em energia durante t=5\\ \mathrm{h}.
Energia extra em Wh:
E_{\text{extra,Wh}}=\Delta \dot{Q}\cdot t = 40{,}3476\\ \mathrm{W}\times 5\\ \mathrm{h}=201{,}738\\ \mathrm{Wh}.
Converter para kWh:
E_{\text{extra,kWh}}=\frac{201{,}738}{1000}=0{,}201738\\ \mathrm{kWh}.

Passo 9

Calcular o custo extra para essas 5 horas multiplicando pela tarifa:
\text{Custo}_{5\mathrm{h}}=E_{\text{extra,kWh}}\times \text{preço} = 0{,}201738\times 0{,}95603119\\ \mathrm{R\$}.ç
Fazendo a multiplicação:
\text{Custo}_{5\mathrm{h}}\approx 0{,}1929\\ \mathrm{R\$}.
Arredondando para centavos: aproximadamente \mathrm{R\$}\,0{,}19.
Comentário: é um valor pequeno porque a potência extra é na ordem de poucas dezenas de watts e o período foi curto.

Passo 10

Agora a parte (b): se a onda de calor fosse permanente (ou seja, o ambiente sempre a 38{,}6^\circ\mathrm{C} em vez de 25^\circ\mathrm{C}), o acréscimo de potência constante seria \Delta \dot{Q}\approx 40{,}3476\\ \mathrm{W}.
Energia extra anual em kWh:
E_{\text{ano,kWh}}=\frac{\Delta \dot{Q}\times 8760\\ \mathrm{h}}{1000}
onde 8760\\ \mathrm{h} é o número de horas em um ano ( 24\times 365).
Cálculo:
E_{\text{ano,kWh}}=\frac{40{,}3476\times 8760}{1000}\approx 353{,}4397\\ \mathrm{kWh}.
Custo anual extra:
\text{Custo}_{\text{ano}}=E_{\text{ano,kWh}}\times \text{preço}\approx 353{,}4397\times 0{,}95603119\\ \mathrm{R\$}\approx 337{,}90\\ \mathrm{R\$}.ç
Arredondando para centavos: aproximadamente \mathrm{R\$}\,337{,}90 por ano.

Resposta

(a) \mathrm{R\$}\,0{,}19
(b) \mathrm{R\$}\,337{,}90

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