Um conjunto cilindro - pistão contém 10 kg de água. Inicialmente, a água apresenta pressão e título iguais a 100 kPa e 0,5 . A água é então aquecida até que o volume interno do conjunto se torne igual ao triplo do volume inicial. A massa do pistão é tal que este inicia seu movimento quando a pressão interna atinge 200 kPa . Determine a temperatura da água no estado final do processo e a transferência de calor necessária para que o processo ocorra.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte (vou listar tudo com calma, sem pular nada):
- Massa da água:
. - Estado inicial: pressão
e título (qualidade) . - A água é aquecida até que o volume interno fique o triplo do volume inicial:
. - O pistão só começa a mover-se quando a pressão interna alcança
. Ou seja, enquanto a pressão interna for menor que o volume permanece fixo; ao atingir o pistão libera-se e o processo continua de tal forma que a pressão do sistema fica (praticamente) em durante a expansão subsequente.
Perguntas pedidas:
- Determinar a temperatura da água no estado final do processo.
- Determinar a transferência de calor necessária para que o processo ocorra (isto é, o calor total fornecido ao sistema durante todo o processo).
Informações relevantes que já retirei do enunciado (resumindo):
- Processo será composto de duas etapas: aquecimento a volume constante até
(pistão preso), e depois expansão isobárica a até (pistão móvel). - Precisaremos usar propriedades termodinâmicas da água/vapor saturado e de vapor superaquecido (tabelas), e aplicar a 1ª lei para sistema fechado.
Passo 2
Escolha do método (explicando por que e sem mistério):
- Como o pistão só se move depois que
atinge , o processo natural a seguir é:
(i) aquecer a volume constantede até que ;
(ii) a partir desse instante o pistão se move e o processo segue aproximadamente isobárico aaté que . - Por isso vou resolver em duas etapas usando propriedades de mistura (para estados saturados) e, para o trecho final (superaquecido), usar aproximação de gás ideal +
médio para obter energia/entalpia do vapor superaquecido (quando necessário). Vou explicar cada fórmula usada na hora.
Passo 3
Propriedades e cálculos do estado inicial (muito didático):
- Estado 1:
, . Em vapor saturado a pegamos (valores de tabela de vapor saturado): -
(volume específico do líquido saturado), -
(volume específico do vapor saturado).
(Obs.: declarei explicitamente que peguei esses valores das tabelas de vapor saturado.)
-
- O volume específico inicial
de uma mistura saturada com qualidade é dado por
Substituindo:
- Volume total inicial:
(Guardo
e
para usar adiante.)
Passo 4
Comportamento até o pistão liberar-se (aquecimento a volume constante)
- Como o volume está fixo até
, vamos achar o estado (chamo de 2a) correspondente a e ao mesmo volume específico . - Em
, a água saturada tem (valores de tabela): -
, -
, -
(temperatura de saturação a ).
(Também peguei esses números nas tabelas de vapor saturado.)
-
- Verificamos que
é menor que e bem maior que , então o estado a e é uma mistura saturada (ou seja, ainda tem líquido + vapor), com qualidade dada por
Substituindo:
- Conclusão importante (do ponto de vista do processo): no final do aquecimento a volume constante (quando
chega a ) a mistura está saturada a com título . A partir desse ponto o pistão passa a se mover e a pressão se mantém durante a expansão.
Passo 5
Determinação do estado final (2) em termos de volume específico e temperatura
- O volume final é
. Logo o volume específico final é
- A expansão subsequente ocorre a pressão constante
. Compare com : temos . Portanto o estado final é vapor superaquecido (não mais saturado). - Para vapor superaquecido, podemos usar a aproximação do gás ideal para calcular a temperatura final (bom chute quando estamos bem acima da curva de saturação e para um cálculo didático). A relação do gás perfeito (por unidade de massa) é
onde:
-
é o volume específico , -
é a pressão em , -
é a temperatura absoluta em , -
é a constante do vapor d’água, . (Importante: aqui usamos as unidades compatíveis: .) - Despejando para
:
Substituindo
,
e
:
- Em graus Celsius:
Resumo: a temperatura final calculada por aproximação de gás ideal é
(ou
). (Comentário: é alta — faz sentido fisicamente: triplicar o volume numa isobárica a pressão relativamente baixa exige aumento grande de temperatura.)
Passo 6
Estratégia para calcular a transferência de calor
total (1ª lei para sistema fechado)
- Para sistema fechado a 1ª lei:
. Rearranjando:
- O trabalho de fronteira
é . Como o processo tem duas etapas com comportamento diferente, iremos somar os calores e os trabalhos etapa a etapa. - Mais conveniente, como mostrado abaixo, dividir o processo em duas partes:
- Processo 1
2a: aquecimento a volume constante (pistão parado). Aqui e . - Processo 2a
2 (final): expansão isobárica a . Para um processo isobárico em sistema fechado vale
- Processo 1
Mas como
, isto simplifica elegantemente para
Portanto o calor total é
- Assim precisamos de
(estado inicial), (na saturação a com qualidade ), (entalpia do estado saturado em 200 kPa com qualidade ) e (entalpia do vapor superaquecido no estado final). Vou explicar como obter cada um usando tabelas e aproximações.
Passo 7
Propriedades numéricas necessárias (pegar das tabelas) — declarei explicitamente as fontes e aproximações
Para fazer os cálculos numéricos peguei nas tabelas de vapor saturado (valores padronizados) os seguintes números:
Para fazer os cálculos numéricos peguei nas tabelas de vapor saturado (valores padronizados) os seguintes números:
A. Valores a
(saturado):
-
(energia interna do líquido saturado). -
(energia interna do vapor saturado).
(Estes valores e os a seguir foram extraídos das tabelas de vapor saturado/steam tables.)
B. Valores a
(saturado):
-
(já usado), -
(já usado), -
(entalpia do líquido saturado), -
(entalpia do vapor saturado). - A partir de
e obtemos (lembrando em kPa e em m^3/kg dá em kJ/kg): -
. -
-
Observação: esses valores vieram das mesmas tabelas; a diferença entre
e
é o termo
explicado acima.
Passo 8
Cálculo de
e
(energias internas nos estados iniciais e no instante em que o pistão libera)
- Estado 1 (mistura a 100 kPa,
):
- Estado 2a (mistura saturada a 200 kPa com
):
Substituindo os valores:
- Energia total (U) correspondentes:
-
Passo 9
Cálculo do calor na etapa 1 (1 → 2a)
- Como foi aquecimento a volume constante,
, logo
Numéricamente:
Passo 10
Cálculo de
e da entalpia no estado final
- Entalpia em 2a (mistura saturada a 200 kPa):
onde
. Já temos
e
, então
- Entalpia no estado final
: como o estado final é vapor superaquecido a e , para estimar usamos a aproximação:
isto é, partir da entalpia do vapor saturado e adicionar
(modelo de gás perfeito com
aproximadamente constante). Aqui escolho um valor razoável para
do vapor d’água em regime superaquecido:
(valor típico médio para vapor a altas temperaturas; se fosse disponível a tabela de vapor superaquecido, usaríamos os valores exatos).
- Substituindo:
-
, -
, -
.
-
Passo 11
Cálculo do calor na etapa 2 (2a → 2) e do calor total
- Para a etapa isobárica:
- Calor total:
Passo 12
Interpretação e comentários finais (empático e útil para a prova)
- Resultado prático: a temperatura final é muito alta (ordem de
). Isso aconteceu porque a água, inicialmente já com muita fração de vapor (título ), teve o volume por massa aumentado por um fator 3 enquanto a pressão ficou apenas no patamar de . Para um gás (ou vapor superaquecido) a relação para pressão constante implica grande aumento de quando cresce muito. - Sobre aproximações usadas (importante na prova): os números finais dependem de:
- valores da tabela de vapor saturado (usei valores padronizados para
e ); - na região de vapor superaquecido usei aproximação de gás ideal e
médio ( ). Se em prova houver tabela de vapor superaquecido, obter diretamente da tabela dá resposta mais precisa.
- valores da tabela de vapor saturado (usei valores padronizados para
- Em resumo: método que usei (dividir em duas etapas, usar balanço de energia para cada etapa, propriedades de mistura para saturado, e aproximação de gás ideal +
para superaquecido) é o procedimento que normalmente se pede em provas quando tabelas de vapor superaquecido não estão completas.