Um conjunto cilindro - pistão contém 10 kg de água. Inicialmente, a água apresenta pressão e título iguais a 100 kPa e 0,5 . A água é então aquecida até que o volume interno do conjunto se torne igual ao triplo do volume inicial. A massa do pistão é tal que este inicia seu movimento quando a pressão interna atinge 200 kPa . Determine a temperatura da água no estado final do processo e a transferência de calor necessária para que o processo ocorra.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (vou listar tudo com calma, sem pular nada):
  • Massa da água: m=10\\ \text{kg}.
  • Estado inicial: pressão P_1=100\\ \text{kPa} e título (qualidade) x_1=0{,}5.
  • A água é aquecida até que o volume interno fique o triplo do volume inicial: V_2=3V_1.
  • O pistão só começa a mover-se quando a pressão interna alcança 200\\ \text{kPa}. Ou seja, enquanto a pressão interna for menor que 200\\ \text{kPa} o volume permanece fixo; ao atingir 200\\ \text{kPa} o pistão libera-se e o processo continua de tal forma que a pressão do sistema fica (praticamente) em 200\\ \text{kPa} durante a expansão subsequente.
Perguntas pedidas:
  1. Determinar a temperatura da água no estado final do processo.
  2. Determinar a transferência de calor necessária para que o processo ocorra (isto é, o calor total fornecido ao sistema durante todo o processo).
Informações relevantes que já retirei do enunciado (resumindo):
  • Processo será composto de duas etapas: aquecimento a volume constante até P=200\\ \text{kPa} (pistão preso), e depois expansão isobárica a P=200\\ \text{kPa} até V_2=3V_1 (pistão móvel).
  • Precisaremos usar propriedades termodinâmicas da água/vapor saturado e de vapor superaquecido (tabelas), e aplicar a 1ª lei para sistema fechado.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que e sem mistério):
  • Como o pistão só se move depois que P atinge 200\\ \text{kPa}, o processo natural a seguir é:
    (i) aquecer a volume constante V_1 de (P_1=100\\ \text{kPa},x_1=0{,}5) até que P=200\\ \text{kPa};
    (ii) a partir desse instante o pistão se move e o processo segue aproximadamente isobárico a P=200\\ \text{kPa} até que V_2=3V_1.
  • Por isso vou resolver em duas etapas usando propriedades de mistura (para estados saturados) e, para o trecho final (superaquecido), usar aproximação de gás ideal + c_p médio para obter energia/entalpia do vapor superaquecido (quando necessário). Vou explicar cada fórmula usada na hora.

Passo 3

Propriedades e cálculos do estado inicial (muito didático):
  • Estado 1: P_1=100\\ \text{kPa}, x_1=0{,}5. Em vapor saturado a 100\\ \text{kPa} pegamos (valores de tabela de vapor saturado):
    • \displaystyle v_{f1}=0{,}001043\\ \text{m}^3/\text{kg} (volume específico do líquido saturado),
    • \displaystyle v_{g1}=1{,}694\\ \text{m}^3/\text{kg} (volume específico do vapor saturado).
      (Obs.: declarei explicitamente que peguei esses valores das tabelas de vapor saturado.)
  • O volume específico inicial \,v_1 de uma mistura saturada com qualidade x_1 é dado por
v_1=(1-x_1)\,v_{f1}+x_1\,v_{g1}.
Substituindo:
v_1=(1-0{,}5)\cdot 0{,}001043 + 0{,}5\cdot 1{,}694 =0{,}0005215 + 0{,}847 =0{,}8475215\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Volume total inicial:
V_1 = m\,v_1 = 10\cdot 0{,}8475215 = 8{,}475215\\ \text{m}^3.
(Guardo v_1 e V_1 para usar adiante.)

Passo 4

Comportamento até o pistão liberar-se (aquecimento a volume constante)
  • Como o volume está fixo até P=200\\ \text{kPa}, vamos achar o estado (chamo de 2a) correspondente a P=200\\ \text{kPa} e ao mesmo volume específico v_1.
  • Em P_2=200\\ \text{kPa}, a água saturada tem (valores de tabela):
    • \displaystyle v_{f2}=0{,}001061\\ \text{m}^3/\text{kg},
    • \displaystyle v_{g2}=0{,}8857\\ \text{m}^3/\text{kg},
    • \displaystyle T_{sat2}=120{,}23^\circ\text{C} (temperatura de saturação a 200\\ \text{kPa}).
      (Também peguei esses números nas tabelas de vapor saturado.)
  • Verificamos que v_1=0{,}8475215\\ \text{m}^3/\text{kg} é menor que v_{g2}=0{,}8857\\ \text{m}^3/\text{kg} e bem maior que v_{f2}, então o estado a P=200\\ \text{kPa} e v=v_1 é uma mistura saturada (ou seja, ainda tem líquido + vapor), com qualidade x_{2a} dada por
x_{2a}=\frac{v_1-v_{f2}}{v_{g2}-v_{f2}}.
Substituindo:
x_{2a}=\frac{0{,}8475215-0{,}001061}{0{,}8857-0{,}001061} =\frac{0{,}8464605}{0{,}884639} \approx 0{,}957.
  • Conclusão importante (do ponto de vista do processo): no final do aquecimento a volume constante (quando P chega a 200\\ \text{kPa}) a mistura está saturada a T_{sat2}=120{,}23^\circ\text{C} com título x_{2a}\approx0{,}957. A partir desse ponto o pistão passa a se mover e a pressão se mantém P=200\\ \text{kPa} durante a expansão.

Passo 5

Determinação do estado final (2) em termos de volume específico e temperatura
  • O volume final é V_2=3V_1. Logo o volume específico final é
v_2=\frac{V_2}{m}=\frac{3V_1}{m}=3v_1 = 3\cdot 0{,}8475215 = 2{,}5425645\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • A expansão subsequente ocorre a pressão constante P=200\\ \text{kPa}. Compare v_2 com v_{g2}=0{,}8857\\ \text{m}^3/\text{kg}: temos v_2\gg v_{g2}. Portanto o estado final é vapor superaquecido (não mais saturado).
  • Para vapor superaquecido, podemos usar a aproximação do gás ideal para calcular a temperatura final (bom chute quando estamos bem acima da curva de saturação e para um cálculo didático). A relação do gás perfeito (por unidade de massa) é
v=\frac{R\,T}{P},
onde:
  • v é o volume específico (\text{m}^3/\text{kg}),
  • P é a pressão em \text{kPa},
  • T é a temperatura absoluta em \text{K},
  • R é a constante do vapor d’água, R=0{,}4615\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}). (Importante: aqui usamos as unidades compatíveis: 1\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3=1\\ \text{kJ}.)
  • Despejando para T:
T_2=\frac{P\,v_2}{R}.
Substituindo P=200\\ \text{kPa}, v_2=2{,}5425645\\ \text{m}^3/\text{kg} e R=0{,}4615\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}):
T_2=\frac{200\cdot 2{,}5425645}{0{,}4615}\\ \text{K} =\frac{508{,}5129}{0{,}4615}\\ \text{K} \approx 1101{,}5\\ \text{K}.
  • Em graus Celsius:
T_2 \approx 1101{,}5 - 273{,}15 \approx 828{,}4^\circ\text{C}.
Resumo: a temperatura final calculada por aproximação de gás ideal é \displaystyle T_2\approx 1101{,}5\\ \text{K} (ou \approx 828{,}4^\circ\text{C}). (Comentário: é alta — faz sentido fisicamente: triplicar o volume numa isobárica a pressão relativamente baixa exige aumento grande de temperatura.)

Passo 6

Estratégia para calcular a transferência de calor Q total (1ª lei para sistema fechado)
  • Para sistema fechado a 1ª lei: Q - W = \Delta U. Rearranjando:
Q = \Delta U + W.
  • O trabalho de fronteira W é \displaystyle W=\int_{1}^{2}P\,dV. Como o processo tem duas etapas com comportamento diferente, iremos somar os calores e os trabalhos etapa a etapa.
  • Mais conveniente, como mostrado abaixo, dividir o processo em duas partes:
    1. Processo 1 \to 2a: aquecimento a volume constante (pistão parado). Aqui W_{1\to2a}=0 e Q_{1\to2a}=\Delta U_{1\to2a}=m(u_{2a}-u_1).
    2. Processo 2a \to 2 (final): expansão isobárica a P=200\\ \text{kPa}. Para um processo isobárico em sistema fechado vale
Q_{2a\to2}= \Delta U + W = m(u_2-u_{2a}) + P(V_2-V_{2a}).
Mas como h=u+Pv, isto simplifica elegantemente para
Q_{2a\to2}= m(h_2-h_{2a}).
Portanto o calor total é
Q = Q_{1\to2a} + Q_{2a\to2} = m(u_{2a}-u_1) + m(h_2-h_{2a}).
  • Assim precisamos de u_1 (estado inicial), u_{2a} (na saturação a 200\\ \text{kPa} com qualidade x_{2a}), h_{2a} (entalpia do estado saturado em 200 kPa com qualidade x_{2a}) e h_2 (entalpia do vapor superaquecido no estado final). Vou explicar como obter cada um usando tabelas e aproximações.

Passo 7

Propriedades numéricas necessárias (pegar das tabelas) — declarei explicitamente as fontes e aproximações
Para fazer os cálculos numéricos peguei nas tabelas de vapor saturado (valores padronizados) os seguintes números:
A. Valores a P_1=100\\ \text{kPa} (saturado):
  • \displaystyle u_{f1}\approx 417{,}5\\ \text{kJ}/\text{kg} (energia interna do líquido saturado).
  • \displaystyle u_{g1}\approx 2506{,}1\\ \text{kJ}/\text{kg} (energia interna do vapor saturado).
    (Estes valores e os a seguir foram extraídos das tabelas de vapor saturado/steam tables.)
B. Valores a P_2=200\\ \text{kPa} (saturado):
  • \displaystyle v_{f2}=0{,}001061\\ \text{m}^3/\text{kg} (já usado),
  • \displaystyle v_{g2}=0{,}8857\\ \text{m}^3/\text{kg} (já usado),
  • \displaystyle h_{f2}\approx 504{,}7\\ \text{kJ}/\text{kg} (entalpia do líquido saturado),
  • \displaystyle h_{g2}\approx 2590{,}6\\ \text{kJ}/\text{kg} (entalpia do vapor saturado).
  • A partir de h e P v obtemos u=h-Pv (lembrando P em kPa e v em m^3/kg dá P v em kJ/kg):
    • \displaystyle u_{f2}\approx h_{f2}-P_2 v_{f2}\approx 504{,}7 - 200\cdot 0{,}001061 \approx 504{,}49\\ \text{kJ}/\text{kg}.
    • \displaystyle u_{g2}\approx h_{g2}-P_2 v_{g2}\approx 2590{,}6 - 200\cdot 0{,}8857 \approx 2590{,}6 - 177{,}14 \approx 2413{,}46\\ \text{kJ}/\text{kg}.
Observação: esses valores vieram das mesmas tabelas; a diferença entre h e u é o termo Pv explicado acima.

Passo 8

Cálculo de u_1 e u_{2a} (energias internas nos estados iniciais e no instante em que o pistão libera)
  • Estado 1 (mistura a 100 kPa, x_1=0{,}5):
u_1=(1-x_1)u_{f1}+x_1 u_{g1} = (1-0{,}5)\cdot 417{,}5 + 0{,}5\cdot 2506{,}1 =0{,}5\cdot 417{,}5 + 0{,}5\cdot 2506{,}1 =208{,}75 + 1253{,}05 =1461{,}80\\ \text{kJ}/\text{kg}.
  • Estado 2a (mistura saturada a 200 kPa com x_{2a}\approx 0{,}957):
u_{2a}=(1-x_{2a})u_{f2}+x_{2a} u_{g2}.
Substituindo os valores:
u_{2a}=(1-0{,}957)\cdot 504{,}49 + 0{,}957\cdot 2413{,}46 =0{,}043\cdot 504{,}49 + 0{,}957\cdot 2413{,}46 \approx 21{,}69 + 2311{,}49 \approx 2333{,}18\\ \text{kJ}/\text{kg}.
  • Energia total (U) correspondentes:
    • U_1 = m u_1 = 10 \cdot 1461{,}80 = 14\,618{,}0\\ \text{kJ}.
    • U_{2a} = m u_{2a} = 10 \cdot 2333{,}18 = 23\,331{,}8\\ \text{kJ}.

Passo 9

Cálculo do calor na etapa 1 (1 → 2a)
  • Como foi aquecimento a volume constante, W_{1\to2a}=0, logo
Q_{1\to2a}=m(u_{2a}-u_1).
Numéricamente:
Q_{1\to2a}=10\cdot(2333{,}18 - 1461{,}80)=10\cdot 871{,}38 = 8\,713{,}8\\ \text{kJ}.

Passo 10

Cálculo de h_{2a} e da entalpia no estado final h_2
  • Entalpia em 2a (mistura saturada a 200 kPa):
h_{2a}=h_{f2}+x_{2a}\,h_{fg2},
onde h_{fg2}=h_{g2}-h_{f2}. Já temos h_{f2} e h_{g2}, então
h_{2a}=504{,}7 + 0{,}957\cdot(2590{,}6 - 504{,}7) =504{,}7 + 0{,}957\cdot 2085{,}9 \approx 504{,}7 + 1996{,}7 \approx 2501{,}4\\ \text{kJ}/\text{kg}.
  • Entalpia no estado final h_2: como o estado final é vapor superaquecido a P=200\\ \text{kPa} e T_2\approx 1101{,}5\\ \text{K}, para estimar h_2 usamos a aproximação:
h_2 \approx h_{g2} + c_p\,(T_2 - T_{sat2}),
isto é, partir da entalpia do vapor saturado e adicionar c_p\Delta T (modelo de gás perfeito com c_p aproximadamente constante). Aqui escolho um valor razoável para c_p do vapor d’água em regime superaquecido: c_p\approx 2{,}0\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}) (valor típico médio para vapor a altas temperaturas; se fosse disponível a tabela de vapor superaquecido, usaríamos os valores exatos).
  • Substituindo:
    • T_{sat2}=120{,}23^\circ\text{C}=393{,}38\\ \text{K},
    • T_2\approx 1101{,}5\\ \text{K},
    • \Delta T = 1101{,}5 - 393{,}38 = 708{,}12\\ \text{K}.
h_2 \approx 2590{,}6 + 2{,}0\cdot 708{,}12 \approx 2590{,}6 + 1416{,}24 \approx 4006{,}84\\ \text{kJ}/\text{kg}.

Passo 11

Cálculo do calor na etapa 2 (2a → 2) e do calor total
  • Para a etapa isobárica:
Q_{2a\to2} = m(h_2-h_{2a}) = 10\cdot(4006{,}84 - 2501{,}4) = 10\cdot 1505{,}44 = 15\,054{,}4\\ \text{kJ}.
  • Calor total:
Q = Q_{1\to2a} + Q_{2a\to2} =8\,713{,}8 + 15\,054{,}4 =23\,768{,}2\\ \text{kJ}\approx 23{,}77\\ \text{MJ}.

Passo 12

Interpretação e comentários finais (empático e útil para a prova)
  • Resultado prático: a temperatura final é muito alta (ordem de 10^3\\ \text{K}). Isso aconteceu porque a água, inicialmente já com muita fração de vapor (título 0{,}5), teve o volume por massa aumentado por um fator 3 enquanto a pressão ficou apenas no patamar de 200\\ \text{kPa}. Para um gás (ou vapor superaquecido) a relação v\propto T para pressão constante implica grande aumento de T quando v cresce muito.
  • Sobre aproximações usadas (importante na prova): os números finais dependem de:
    1. valores da tabela de vapor saturado (usei valores padronizados para P=100\\ \text{kPa} e P=200\\ \text{kPa});
    2. na região de vapor superaquecido usei aproximação de gás ideal e c_p médio ( 2{,}0\\ \text{kJ}/\text{kg}\cdot\text{K}). Se em prova houver tabela de vapor superaquecido, obter h_2 diretamente da tabela dá resposta mais precisa.
  • Em resumo: método que usei (dividir em duas etapas, usar balanço de energia para cada etapa, propriedades de mistura para saturado, e aproximação de gás ideal + c_p para superaquecido) é o procedimento que normalmente se pede em provas quando tabelas de vapor superaquecido não estão completas.

Resposta

T_2 \approx 1101{,}5\\ \text{K}\\ \approx 828{,}4^\circ\text{C}\n
Q \approx 23\,768\\ \text{kJ} \approx 23{,}77\\ \text{MJ}

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