Um conjunto cilindro - pistão, que apresenta esbarro, contém 50 kg de água. Inicialmente, o volume e a pressão na água são iguais a 0,1 \mathrm{~m}^{3} e 200 kPa . Quando o pistão encosta no esbarro, o volume da câmara se torna igual a 0,5 \mathrm{~m}^{3}. Transfere-se calor ao sistema até que o pistão toque no esbarro. Determine o calor transferido neste processo.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (não resolvo nada ainda, só listo os dados e o que é pedido):
  • Massa da água: m=50\\ \mathrm{kg}.
  • Volume inicial da câmara: V_1=0,1\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão na água (constante enquanto o pistão se movimenta): p=200\\ \mathrm{kPa}.
  • Volume final da câmara quando o pistão encosta: V_2=0,5\\ \mathrm{m}^3.
  • O processo é realizado aquecendo até o pistão tocar o esbarro (portanto o sistema é fechado e o processo é quasi-estático enquanto o pistão se desloca).
  • Pergunta: determinar o calor transferido Q durante esse processo.

Passo 2

Estratégia física e fórmulas que vamos usar (aula rápida, sem pular etapas):
  • Primeiro princípio da termodinâmica para sistema fechado (controle-massa) em processo qualquer:
Q - W = \Delta U,
onde
  • Q é o calor transferido para o sistema (positivo se entra),
  • W é o trabalho de fronte (trabalho de pressão) realizado pelo sistema sobre o ambiente,
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema.
  • Rearranjando:
Q = \Delta U + W.
  • Para um pistão que se move de forma quasi-estática com pressão do fluido igual à pressão de fronte, o trabalho de pressão é
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V.
Se a pressão é constante durante o deslocamento do pistão (aqui a pressão da água vale 200\\ \mathrm{kPa} enquanto o pistão se move), então
W = p\,(V_2-V_1).
  • A variação da energia interna do sistema é
\Delta U = m\,(u_2-u_1),
onde u é a energia interna específica ( \mathrm{kJ/kg}).
  • Para obter u_1 e u_2 precisamos identificar o estado termodinâmico (líquido comprimido, líquido saturado, mistura, vapor) em cada ponto. Como a pressão é 200\\ \mathrm{kPa}, vamos usar as propriedades saturadas da água à pressão p=200\\ \mathrm{kPa} (tabelas de vapor d’água). Ao aquecer à pressão de saturacão a água passará por mistura líquido-vapor; é provável que ambos os estados fiquem na região saturada (mistura), então vamos usar fração de vapor (qualidade) para calcular u.
  • Fórmula da qualidade x (fração mássica de vapor):
x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f},
onde v é o volume específico do estado, v_f é o volume específico do líquido saturado e v_g do vapor saturado, todos à mesma pressão.
  • Energia interna específica do estado saturado/mistura:
u = u_f + x\,(u_g-u_f),
onde u_f e u_g são as energias internas específicas do líquido e vapor saturados, respectivamente.

Passo 3

Calcular os volumes específicos inicial e final (dados do enunciado):
v_1=\frac{V_1}{m}=\frac{0,1}{50}=0,002\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
v_2=\frac{V_2}{m}=\frac{0,5}{50}=0,01\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.

Passo 4

Pegar os dados das tabelas de vapor saturado para p=200\\ \mathrm{kPa} (valores retirados da tabela de vapor/água):
  • v_f=0,001061\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • v_g=0,88578\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • h_f=504,71\\ \mathrm{kJ/kg} e h_g\approx2706,60\\ \mathrm{kJ/kg} (apenas referência).
    Usaremos u_f e u_g. Podemos obter u a partir de h pelo relacionamento u=h-pv (com p em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} obtém-se \mathrm{kJ/kg}):
u_f = h_f - p\,v_f = 504,71 - 200\cdot 0,001061 = 504,71 - 0,2122 = 504,4978\\ \mathrm{kJ/kg}.
u_g = h_g - p\,v_g \approx 2706,60 - 200\cdot 0,88578 = 2706,60 - 177,156 = 2529,444\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Arredondarei depois para manter consistência.)

Passo 5

Determinar a qualidade (fração de vapor) nos estados 1 e 2 usando v_1 e v_2:
Para o estado 1:
x_1=\frac{v_1-v_f}{v_g-v_f} =\frac{0,002-0,001061}{0,88578-0,001061} =\frac{0,000939}{0,884719}\approx 0,001061.
Para o estado 2:
x_2=\frac{v_2-v_f}{v_g-v_f} =\frac{0,01-0,001061}{0,88578-0,001061} =\frac{0,008939}{0,884719}\approx 0,01010.
Observação didática: essas qualidades são pequenas (0,1% e 1,0%), ou seja, a água permanece majoritariamente na fase líquida; o aquecimento está apenas vaporizando uma pequena fração da massa.

Passo 6

Calcular as energias internas específicas u_1 e u_2 a partir de u=u_f + x(u_g-u_f):
Primeiro calcule a diferença u_g-u_f:
u_g-u_f = 2529,444 - 504,498 \approx 2024,946\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora:
u_1 = u_f + x_1 (u_g-u_f) \approx 504,498 + 0,001061\cdot 2024,946 \approx 504,498 + 2,1489 \approx 506,6469\\ \mathrm{kJ/kg}.
u_2 = u_f + x_2 (u_g-u_f) \approx 504,498 + 0,01010\cdot 2024,946 \approx 504,498 + 20,468 \approx 524,966\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Calcular a variação de energia interna total do sistema:
\Delta U = m\,(u_2-u_1)=50\cdot(524,966-506,647)\\ \mathrm{kJ} =50\cdot 18,319\\ \mathrm{kJ} \approx 915,95\\ \mathrm{kJ}.
(Arredondei os u e o produto final de forma consistente.)

Passo 8

Calcular o trabalho de pressão W realizado pelo sistema durante a expansão do pistão até o esbarro (pressão constante p=200\\ \mathrm{kPa}):
W = p\,(V_2-V_1)=200\\ \mathrm{kPa}\cdot(0,5-0,1)\\ \mathrm{m}^3 =200\cdot 0,4\\ \mathrm{kJ} =80\\ \mathrm{kJ}.
(Nota sobre unidades: 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3 = 1\\ \mathrm{kJ}.)

Passo 9

Calcular o calor transferido Q usando Q=\Delta U + W:
Q = 915,95\\ \mathrm{kJ} + 80\\ \mathrm{kJ} \approx 995,95\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando para três algarismos significativos:
Q \approx 996\\ \mathrm{kJ}.
Breve incentivo: pronto — aquecemos a água a pressão constante, determinamos que apenas uma pequena fração virou vapor, calculamos a mudança de energia interna e o trabalho do pistão, e somamos para obter o calor transferido. Seguindo esses passos na prova, basta ter à mão as tabelas de vapor e fazer as contas com calma.

Resposta

Q\approx 996\\ \mathrm{kJ}

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