Um conjunto cilindro - pistão, que não apresenta atrito, contém 2 kg de água. Inicialmente, a pressão e o título da água são iguais a 200 kPa e 0,5 . Transfere-se calor à água até que sua temperatura aumente 20^{\circ} \mathrm{C}. Determine o trabalho realizado e o calor transferido neste processo.

Passo 1

O enunciado pede que se determine o trabalho realizado e o calor transferido ao aquecer um sistema água fechada (cilindro-pistão sem atrito) nas condições abaixo. Dados fornecidos:
  • massa: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • pressão inicial (e, por hipótese, pressão do processo): P=200\\ \mathrm{kPa}.
  • título (qualidade) inicial: x_1=0{,}5.
  • a temperatura aumenta 20^\circ\mathrm{C} no processo: \Delta T=20^\circ\mathrm{C}.
O que se pede:
  • trabalho realizado W no processo;
  • calor transferido Q no processo.

Passo 2

Decisão do tipo de processo (razão):
  • Como o sistema está em um cilindro com pistão sem atrito e não foi indicado variação de carga sobre o pistão, é razoável assumir que o pistão se move mantendo a pressão interna igual à pressão externa constante. Assim o processo é quasi-estático e aproximadamente isobárico (pressão constante) à P=200\\ \mathrm{kPa}.
  • Observação importante (para a prova): sempre justificar essa hipótese quando o enunciado não declara explicitamente o tipo de processo — cilindro-pistão sem atrito costuma implicar processo quase-estático e o pistão só muda de posição para manter equilíbrio com a pressão externa, que se considera constante se não há indicação de carga variável.

Passo 3

Equações fundamentais que vamos usar:
  • Primeira lei da termodinâmica para sistema fechado: Q - W = \Delta U,
onde Q é o calor adicionado ao sistema, W o trabalho realizado pelo sistema (trabalho de borda) e \Delta U a variação da energia interna.
  • Trabalho de borda em processo isobárico: W=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV = P\,(V_2-V_1).
  • Para processo a pressão constante vale também (por definição de entalpia H=U+PV): Q=\Delta H = m\,(h_2-h_1).
Usaremos tanto Q=\Delta H (mais direto) como Q=\Delta U+W para conferir consistência.

Passo 4

Estado inicial ( P=200\\ \mathrm{kPa}, x_1=0{,}5). Peguei os dados nas tabelas de água/vapor saturado à pressão 200\\ \mathrm{kPa}. Valores usados (extraídos da tabela saturada a 200\\ \mathrm{kPa}):
  • temperatura de saturação: T_{sat}=120{,}23^\circ\mathrm{C},
  • v_f=0{,}001061\\ \mathrm{m^3/kg},
  • v_g=0{,}88570\\ \mathrm{m^3/kg},
  • h_f=504{,}7\\ \mathrm{kJ/kg},
  • h_g=2706{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
Cálculo do estado inicial:
  • entalpia específica inicial \,h_1: h_1 = h_f + x_1\,(h_g-h_f).
Substituindo os números:
h_1 = 504{,}7 + 0{,}5\,(2706{,}4-504{,}7)=504{,}7+0{,}5\cdot2201{,}7=1605{,}55\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • volume específico inicial \,v_1: v_1 = v_f + x_1\,(v_g-v_f).
Substituindo:
v_1 = 0{,}001061 + 0{,}5\,(0{,}88570-0{,}001061)=0{,}4433805\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • volume total inicial V_1 = m v_1 = 2\cdot0{,}4433805 = 0{,}886761\\ \mathrm{m^3}.

Passo 5

Estado final: a água é aquecida até aumento de 20^\circ\mathrm{C}. Então a temperatura final é
T_2 = T_{sat} + 20^\circ\mathrm{C} = 120{,}23^\circ\mathrm{C} + 20^\circ\mathrm{C} = 140{,}23^\circ\mathrm{C}.
Como mantemos P=200\\ \mathrm{kPa} e T_2>T_{sat}(200\\ \mathrm{kPa}), o estado final é vapor superaquecido a P=200\\ \mathrm{kPa} e T=140{,}23^\circ\mathrm{C}.
Para obter as propriedades finais podemos usar a tabela de vapor superaquecido a 200\\ \mathrm{kPa}. Se a tabela de superaquecido não estiver disponível na prova, uma aproximação prática (aceitável em provas quando solicitado) é:
  • estimar a variação de entalpia pela capacidade calorífica do vapor: \,h_2\approx h_g + c_p\,(T_2-T_{sat}), com c_p do vapor ideal aproximado por c_p\approx 2{,}0\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor típico para vapor d’água nessas condições);
  • estimar o volume específico do vapor usando a lei dos gases ideais: \,v_2 \approx \dfrac{R\,T_2}{P}, com R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, T em K e P em kPa (lembre que P\cdot v em kPa·m^3/kg = kJ/kg).
Vou seguir essa abordagem prática (equivalente a consultar tabela superaquecida se não estiver disponível):
Converter temperatura para Kelvin:
T_2 = 140{,}23^\circ\mathrm{C} = 140{,}23 + 273{,}15 = 413{,}38\\ \mathrm{K}.
Calcular v_2 (lei dos gases):
v_2 = \frac{R\,T_2}{P} = \frac{0{,}4615\cdot413{,}38}{200} = 0{,}954075\\ \mathrm{m^3/kg}.
Estimativa de h_2 (aproximação por c_p):
h_2 \approx h_g + c_p\,(T_2-T_{sat}) = 2706{,}4 + 2{,}0\cdot20 = 2746{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
Verificação/consistência: se tivesse tabela superaquecida, o valor de h_2 seria muito próximo a esse (variação pequena), então a aproximação é adequada para a prova.

Passo 6

Calcular trabalho W.
Fórmula para trabalho (processo isobárico):
W = P\,(V_2-V_1) = m P (v_2 - v_1).
Substituindo m=2\\ \mathrm{kg}, P=200\\ \mathrm{kPa}, v_1=0{,}4433805\\ \mathrm{m^3/kg}, v_2=0{,}954075\\ \mathrm{m^3/kg}:
W = 2\cdot200\cdot(0{,}954075-0{,}4433805) = 400\cdot0{,}5106945 = 204{,}2778\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando razoavelmente: W \approx 204{,}3\\ \mathrm{kJ}.
(Observação de unidade: usamos P em kPa e v em \mathrm{m^3/kg}; o produto P\cdot v dá kJ/kg, multiplicando por m dá kJ — consistente.)

Passo 7

Calcular calor Q.
Método direto (processo isobárico): Q = m\,(h_2-h_1).
Já temos h_1=1605{,}55\\ \mathrm{kJ/kg} e h_2\approx2746{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}. Então:
Q = 2\cdot(2746{,}4 - 1605{,}55) = 2\cdot1140{,}85 = 2281{,}70\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando: Q \approx 2281{,}7\\ \mathrm{kJ}.
Verificação pela primeira lei:
  • variação de energia interna por kg: u_1 = h_1 - P v_1 e u_2 = h_2 - P v_2.
    Calcular u_1:
u_1 = 1605{,}55 - 200\cdot0{,}4433805 = 1605{,}55 - 88{,}6761 = 1516{,}8739\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calcular u_2:
u_2 = 2746{,}4 - 200\cdot0{,}954075 = 2746{,}4 - 190{,}815 = 2555{,}585\\ \mathrm{kJ/kg}.
Variação interna total \Delta U = m(u_2-u_1)=2\cdot(2555{,}585-1516{,}8739)=2\cdot1038{,}7111=2077{,}422\\ \mathrm{kJ}.
Então Q = \Delta U + W = 2077{,}422 + 204{,}2778 = 2281{,}6998\\ \mathrm{kJ}, que coincide (dentro de arredondamento) com m(h_2-h_1). Boa consistência.

Passo 8

Resultado final arredondado com algarismos significativos razoáveis (duas ou três cifras significativas após a vírgula quando aplicável):
  • Trabalho realizado pelo sistema: W \approx 204{,}3\\ \mathrm{kJ}.
  • Calor transferido para o sistema: Q \approx 2281{,}7\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

W = 204{,}3\\ \mathrm{kJ}
Q = 2281{,}7\\ \mathrm{kJ}

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