O conjunto é composto por 2 postes AD e CF feitos de aço A-36, ambos com área de seção transversal de 1000 \mathrm{~mm}^{2} e um poste BE feito de alumínio 2014-T6 que possui uma área de seção transversal de 1500 \mathrm{~mm}^{2}. Caso uma carga centralizada de 400 kN seja aplicada a um elemento rígido ABC sobre os elementos, determine a tensão normal média em cada poste.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a tensão normal média em cada poste (AD, BE e CF) quando uma carga concentrada de 400\\ \mathrm{kN} é aplicada ao elemento rígido superior ABC.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado / da figura):
  • Carga concentrada: P = 400\\ \mathrm{kN}.
  • Geometria horizontal (posição dos postes em relação ao ponto de aplicação da carga): postes em x=-0,5\\ \mathrm{m} (postes AD), x=0\\ \mathrm{m} (poste BE) e x=+0,5\\ \mathrm{m} (poste CF) — ou seja, distância de 0,5\\ \mathrm{m} do poste central até cada poste lateral (peguei esses valores da imagem).
  • Altura (comprimento) dos postes: L = 0,4\\ \mathrm{m} (peguei esse valor da imagem).
  • Áreas das seções transversais (peguei da figura/enunciado):
    • Postes de aço AD e CF: A_{\mathrm{s}} = 1000\\ \mathrm{mm}^2.
    • Poste de alumínio BE: A_{\mathrm{a}} = 1500\\ \mathrm{mm}^2.
  • Materiais (informados na figura):
    • AD e CF: aço A-36.
    • BE: alumínio 2014-T6.
Dados materiais necessários (não apresentados explicitamente no enunciado, então adoto valores típicos de módulos de elasticidade; isso é padrão nessas questões e necessário para distribuir a carga por rigidez):
  • Módulo de Young do aço A-36: E_{\mathrm{s}} = 200\cdot10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Módulo de Young do alumínio 2014-T6: E_{\mathrm{a}} = 73\cdot10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Observações de interpretação (sem resolver ainda):
  • Os postes ligam duas peças rígidas (barra superior ABC e barra inferior). A barra inferior está apoiada no solo (fixa) e a barra superior é rígida e pode deslocar verticalmente e girar. A compatibilidade de deslocamentos e o equilíbrio estático determinam as forças axiais nos postes.
  • Como a carga está aplicada no centro e a disposição dos postes é simétrica, espera-se que não haja rotação da barra superior (resultado que será mostrado), o que simplifica a distribuição de carga.

Passo 2

Modelo e formulação do problema (passo-a-passo didático):
  • Representação do deslocamento vertical da barra superior: a barra superior rígida pode sofrer uma translação vertical \Delta e uma rotação \theta em torno do seu centro. O deslocamento vertical do topo do poste i, localizado na abscissa x_i, é
u_i = \Delta + \theta\,x_i.
  • A deformação axial média do poste i (compressão positiva) é \varepsilon_i = u_i / L. A força axial (tensão multiplicada pela área) no poste i é dada pela lei de Hooke linear:
F_i = E_i A_i \frac{u_i}{L} = k_i (\Delta + \theta x_i),
onde definimos a rigidez axial do poste
k_i = \frac{E_i A_i}{L}.
  • Equilíbrio estático: a soma das forças verticais nas três colunas deve equilibrar a carga aplicada e a soma dos momentos (em torno do centro x=0) deve equilibrar o momento da carga. Como a carga P está em x=0, o momento externo é zero, portanto as equações de equilíbrio são
\sum_{i} F_i = P, \qquad \sum_{i} F_i x_i = 0.
  • Substituindo F_i = k_i (\Delta + \theta x_i) obtemos o sistema linear para \Delta e \theta:
\left\{ \begin{aligned} \displaystyle \Delta\sum_i k_i \;+\; \theta\sum_i k_i x_i &= P,\\[6pt] \displaystyle \Delta\sum_i k_i x_i \;+\; \theta\sum_i k_i x_i^2 &= 0. \end{aligned} \right.
Esse sistema vem diretamente da compatibilidade (deslocamentos geométricos) e do equilíbrio estático; é o procedimento padrão para estruturas com elementos elásticos ligados a elementos rígidos.]

Passo 3

Cálculo das rigidezes k_i (fazer as conversões explicitamente):
  • Converto áreas para \mathrm{m}^2: 1000\\ \mathrm{mm}^2 = 1000\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2 e 1500\\ \mathrm{mm}^2 = 1,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
  • Rigidez dos postes de aço (AD e CF), cada um:
k_{\mathrm{s}} = \frac{E_{\mathrm{s}} A_{\mathrm{s}}}{L} = \frac{200\cdot10^{9}\cdot(1,0\cdot10^{-3})}{0,4} = 5,00\cdot10^{8}\\ \mathrm{N/m}.
  • Rigidez do poste de alumínio (BE):
k_{\mathrm{a}} = \frac{E_{\mathrm{a}} A_{\mathrm{a}}}{L} = \frac{73\cdot10^{9}\cdot(1,5\cdot10^{-3})}{0,4} = 2,7375\cdot10^{8}\\ \mathrm{N/m}.
  • Agora computamos as somas necessárias:
\sum_i k_i = 2k_{\mathrm{s}} + k_{\mathrm{a}} = 2\cdot(5,00\cdot10^{8}) + 2,7375\cdot10^{8} = 1,27375\cdot10^{9}\\ \mathrm{N/m}.
  • E a soma ponderada com as posições x_i: as posições são x_1=-0,5\\ \mathrm{m} (AD), x_2=0 (BE), x_3=+0,5\\ \mathrm{m} (CF). Portanto
\sum_i k_i x_i = k_{\mathrm{s}}(-0,5) + k_{\mathrm{a}}(0) + k_{\mathrm{s}}(+0,5) = 0.
  • Como \sum_i k_i x_i = 0, o sistema do Passo 2 simplifica: a primeira equação fornece \Delta e a segunda reduz a \theta\sum_i k_i x_i^2 = 0, logo \theta = 0 (não há rotação), pelo simetria do problema. Assim:
\theta = 0,\qquad \Delta = \frac{P}{\sum_i k_i}.

Passo 4

Cálculo numérico da translação \Delta e das forças F_i:
  • Translação:
\Delta = \frac{400\cdot10^{3}\\ \mathrm{N}}{1,27375\cdot10^{9}\\ \mathrm{N/m}} = 3,14185\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m} = 0,3142\\ \mathrm{mm}.
  • Forças axiais nos postes (já que \theta=0, F_i=k_i\Delta):
    • Poste AD (aço, esquerdo):
    F_{\mathrm{AD}} = k_{\mathrm{s}}\Delta = 5,00\cdot10^{8}\cdot 3,14185\cdot10^{-4} \approx 157{,}04\cdot10^{3}\\ \mathrm{N} = 157{,}04\\ \mathrm{kN}.
    • Poste BE (alumínio, central):
    F_{\mathrm{BE}} = k_{\mathrm{a}}\Delta = 2,7375\cdot10^{8}\cdot 3,14185\cdot10^{-4} \approx 85{,}92\cdot10^{3}\\ \mathrm{N} = 85{,}92\\ \mathrm{kN}.
    • Poste CF (aço, direito) é simétrico ao esquerdo:
    F_{\mathrm{CF}} = F_{\mathrm{AD}} \approx 157{,}04\\ \mathrm{kN}.
  • Verificação rápida (somatório das reações):
157{,}04 + 85{,}92 + 157{,}04 \approx 400{,}00\\ \mathrm{kN},
ou seja, coincide com P (pequenas diferenças são devida ao arredondamento).

Passo 5

Cálculo das tensões médias normais \sigma = F/A (uso conveniente: 1\\ \mathrm{N/mm}^2 = 1\\ \mathrm{MPa}):
  • Para os postes de aço (AD e CF), A_{\mathrm{s}} = 1000\\ \mathrm{mm}^2:
\sigma_{\mathrm{AD}} = \sigma_{\mathrm{CF}} = \frac{157{,}04\cdot10^{3}\\ \mathrm{N}}{1000\\ \mathrm{mm}^2} = 157{,}04\\ \mathrm{N/mm}^2 = 157{,}04\\ \mathrm{MPa}.
  • Para o poste de alumínio (BE), A_{\mathrm{a}} = 1500\\ \mathrm{mm}^2:
\sigma_{\mathrm{BE}} = \frac{85{,}92\cdot10^{3}\\ \mathrm{N}}{1500\\ \mathrm{mm}^2} = 57{,}28\\ \mathrm{N/mm}^2 = 57{,}28\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\sigma_{AD} = 157{,}0\\ \mathrm{MPa}
\sigma_{BE} = 57{,}3\\ \mathrm{MPa}
\sigma_{CF} = 157{,}0\\ \mathrm{MPa}

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