Se a folga entre C e a parede rígida em D for inicialmente 0.15 mm , determine as reações de apoio em A e D quando a força \mathrm{P}=200 \mathrm{kN} é aplicada. O conjunto é feito de cilindros sólidos de aço A-36.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada).
  • Força aplicada: \,P=200{,}0\\ \mathrm{kN}.
  • Comprimentos dos trechos:
    • trecho entre a parede em A e a junta B: \,L_1=600\\ \mathrm{mm}.
    • trecho entre a junta B e a extremidade C: \,L_2=600\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetros dos cilindros (seções transversais circulares):
    • cilindro esquerdo (entre A e B): diâmetro \,d_1=50\\ \mathrm{mm}.
    • cilindro direito (entre B e C): diâmetro \,d_2=25\\ \mathrm{mm}.
  • Folga inicial entre C e a parede rígida em D: \,\delta_{\text{folga}}=0{,}15\\ \mathrm{mm}.
  • Material: aço A-36. Usarei o módulo de Young típico para aço:
    • \,E=200\\ \mathrm{GPa}=200\,000\\ \mathrm{N/mm^2}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar as reações de apoio em A e em D quando P=200\\ \mathrm{kN} é aplicada.

Passo 2

Entendimento físico e estratégia (sem resolver ainda): quando se aplica a força \,P e a extremidade D ainda tem folga, inicialmente somente a parede em A equilibra a força (isto é, antes de contato tem reação apenas em A). A aplicação de \,P alonga o conjunto; se o alongamento total for menor que a folga, a parede D não entra em contato e \,R_A=P,\;R_D=0. Se o alongamento total for maior ou igual à folga, a extremidade C atinge D e então o sistema fica engastado entre as duas paredes: as reações em A e D repartem P (situação estaticamente indeterminada de grau 1). Portanto o primeiro passo numérico é verificar se \,P fecha a folga: calcular o alongamento total do par de barras quando a força \,P atua com D livre.

Passo 3

Fórmula da deformação axial e cálculo das áreas:
  • Para uma barra com força axial F, comprimento L, área A e módulo E, a deformação axial (alongamento) é dada por
\Delta = \frac{F L}{A E}.
Aqui cada trecho tem sua própria área circular:
A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (50)^2}{4} = 625\pi\\ \mathrm{mm^2},
A_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} = \frac{\pi (25)^2}{4} = 156{,}25\pi\\ \mathrm{mm^2}.

Passo 4

Calcular o alongamento total \Delta_P quando a força P atua e a parede D está livre (ou seja, antes de contato). Nesse caso a mesma força P atravessa os dois trechos em série, então
\Delta_P = \frac{P L_1}{A_1 E} + \frac{P L_2}{A_2 E} = \frac{P}{E}\left(\frac{L_1}{A_1}+\frac{L_2}{A_2}\right).
Substituindo os valores (usar unidades coerentes: P em N, E em N/mm^2, comprimentos em mm, áreas em mm^2):
A_1=625\pi\\ \mathrm{mm^2},\qquad A_2=156{,}25\pi\\ \mathrm{mm^2},
\frac{L_1}{A_1}+\frac{L_2}{A_2}=\frac{600}{625\pi}+\frac{600}{156{,}25\pi} =\frac{4{,}8}{\pi}\\ \text{(em mm}^{-1}\text{)}.
Logo
\Delta_P=\frac{P}{E}\cdot\frac{4{,}8}{\pi}.
Agora numericamente:
P=200{,}0\\ \mathrm{kN}=200\,000\\ \mathrm{N},\quad E=200\,000\\ \mathrm{N/mm^2},
\Delta_P=\frac{200\,000}{200\,000}\cdot\frac{4{,}8}{\pi}=\frac{4{,}8}{\pi}\\ \mathrm{mm}\approx 1{,}5279\\ \mathrm{mm}.
Comparação com a folga:
\Delta_P\approx 1{,}5279\\ \mathrm{mm} > \delta_{\text{folga}}=0{,}15\\ \mathrm{mm}.
Portanto a folga será fechada e a extremidade C entrará em contato com a parede D. Assim o estado final tem ambas as reações R_A e R_D presentes.

Passo 5

Resolver o caso com contato (sistema hiperestático de 1 grau) por compatibilidade usando superposição.
Ideia: considere a quantidade
S=\frac{L_1}{A_1}+\frac{L_2}{A_2}.
Se aplicarmos somente P com D livre o deslocamento em C (relativo a A) é
u_P=\frac{P}{E}S.
Se aplicarmos uma força adicional R_D dirigida para a esquerda em C (representando a reação da parede D), e com A fixo, o deslocamento em C devido a R_D só é (por linearidade)
u_{R_D}=-\frac{R_D}{E}S.
(Nota: sinal negativo porque uma força para a esquerda provoca encurtamento; estou usando superposição linear.)
No estado final com contato, o deslocamento resultante em C deve ser igual à folga original \delta_{\text{folga}} (pois o deslocamento causado por P sem reação em D teria levado C muito além da folga; a reação R_D reduz o deslocamento até exatamente a folga na condição de contato). Assim:
u_P + u_{R_D} = \delta_{\text{folga}}.
Substituindo as expressões:
\frac{P}{E}S - \frac{R_D}{E}S = \delta_{\text{folga}}.
Multiplicando por E/S:
P - R_D = \frac{E\,\delta_{\text{folga}}}{S}.
Portanto
R_D = P - \frac{E\,\delta_{\text{folga}}}{S}.
Como a condição de equilíbrio exige R_A+R_D=P, então
R_A = P - R_D = \frac{E\,\delta_{\text{folga}}}{S}.

Passo 6

Agora calcular numericamente S, R_A e R_D.
Já vimos que
S=\frac{4{,}8}{\pi}\\ \mathrm{mm^{-1}}\approx 1{,}527887\\ \mathrm{mm^{-1}}.
Calcular R_A:
R_A=\frac{E\,\delta_{\text{folga}}}{S}=\frac{200\,000\\ (\mathrm{N/mm^2})\times 0{,}15\\ (\mathrm{mm})}{1{,}527887\\ (\mathrm{mm^{-1}})}.
Fazendo as contas:
R_A\approx\frac{30\,000}{1{,}527887}\\ \mathrm{N}\approx 19\,643{,}2\\ \mathrm{N}\approx 19{,}64\\ \mathrm{kN}.
E então
R_D = P - R_A = 200{,}000\\ \mathrm{N} - 19\,643{,}2\\ \mathrm{N}\approx 180\,356{,}8\\ \mathrm{N}\approx 180{,}36\\ \mathrm{kN}.
Interpretação: após o fechamento da folga, a parede A suporta uma pequena parte da carga (cerca de 19{,}6\\ \mathrm{kN}) e a parede D suporta o restante (cerca de 180{,}4\\ \mathrm{kN}).

Resposta

Reação em A: R_A=19{,}64\\ \mathrm{kN}
Reação em D: R_D=180{,}36\\ \mathrm{kN}

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