Se a folga entre C e a parede rígida em D for inicialmente 0.15 mm , determine as reações de apoio em A e D quando a força
é aplicada. O conjunto é feito de cilindros sólidos de aço A-36.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada).
- Força aplicada:
. - Comprimentos dos trechos:
- trecho entre a parede em
e a junta : - trecho entre a junta
e a extremidade :
- trecho entre a parede em
- Diâmetros dos cilindros (seções transversais circulares):
- cilindro esquerdo (entre
e ): diâmetro - cilindro direito (entre
e ): diâmetro
- cilindro esquerdo (entre
- Folga inicial entre
e a parede rígida em : - Material: aço A-36. Usarei o módulo de Young típico para aço:
-
O que o enunciado pede:
- Determinar as reações de apoio em
e em quando é aplicada.
Passo 2
Entendimento físico e estratégia (sem resolver ainda): quando se aplica a força
e a extremidade
ainda tem folga, inicialmente somente a parede em
equilibra a força (isto é, antes de contato tem reação apenas em
). A aplicação de
alonga o conjunto; se o alongamento total for menor que a folga, a parede
não entra em contato e
. Se o alongamento total for maior ou igual à folga, a extremidade
atinge
e então o sistema fica engastado entre as duas paredes: as reações em
e
repartem
(situação estaticamente indeterminada de grau 1). Portanto o primeiro passo numérico é verificar se
fecha a folga: calcular o alongamento total do par de barras quando a força
atua com
livre.
Passo 3
Fórmula da deformação axial e cálculo das áreas:
- Para uma barra com força axial
, comprimento , área e módulo , a deformação axial (alongamento) é dada por
Aqui cada trecho tem sua própria área circular:
Passo 4
Calcular o alongamento total
quando a força
atua e a parede
está livre (ou seja, antes de contato). Nesse caso a mesma força
atravessa os dois trechos em série, então
Substituindo os valores (usar unidades coerentes:
em N,
em N/mm^2, comprimentos em mm, áreas em mm^2):
Logo
Agora numericamente:
Comparação com a folga:
Portanto a folga será fechada e a extremidade
entrará em contato com a parede
. Assim o estado final tem ambas as reações
e
presentes.
Passo 5
Resolver o caso com contato (sistema hiperestático de 1 grau) por compatibilidade usando superposição.
Ideia: considere a quantidade
Se aplicarmos somente
com
livre o deslocamento em
(relativo a
) é
Se aplicarmos uma força adicional
dirigida para a esquerda em
(representando a reação da parede
), e com
fixo, o deslocamento em
devido a
só é (por linearidade)
(Nota: sinal negativo porque uma força para a esquerda provoca encurtamento; estou usando superposição linear.)
No estado final com contato, o deslocamento resultante em
deve ser igual à folga original
(pois o deslocamento causado por
sem reação em
teria levado
muito além da folga; a reação
reduz o deslocamento até exatamente a folga na condição de contato). Assim:
Substituindo as expressões:
Multiplicando por
:
Portanto
Como a condição de equilíbrio exige
, então
Passo 6
Agora calcular numericamente
,
e
.
Já vimos que
Calcular
:
Fazendo as contas:
E então
Interpretação: após o fechamento da folga, a parede
suporta uma pequena parte da carga (cerca de
) e a parede
suporta o restante (cerca de
).
Resposta
Reação em
:
Reação em :
Reação em