A viga rígida ABC é suportada por 2 barras com comprimentos idênticos
. A barra (1) é feita de aço
e possui uma área de seção transversal de 175
. A barra (2) é feita de alumínio (
) e uma área de seção transversal de
. Considere as dimensões
e
. Para uma carga uniformemente distribuída
, determine a deflexão da viga no ponto B .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes valores da figura):
- O problema pede a deflexão da viga rígida no ponto
. - Geometria da viga (retirada da figura):
- Distância de
até : . - Distância de
até : . - Comprimento total
– : .
- Distância de
- Barras verticais idênticas em comprimento (valores da figura):
- Comprimento das barras:
. - Barra (1) (em
): aço com módulo de elasticidade e área . - Barra (2) (em
): alumínio com e área .
- Comprimento das barras:
- Carga distribuída (da figura):
- Carga uniformemente distribuída ao longo da viga:
.
- Carga uniformemente distribuída ao longo da viga:
- O que preciso encontrar:
- Deformação vertical (deflexão) no ponto
da viga (valor e sentido).
- Deformação vertical (deflexão) no ponto
Observação importante sobre convenções que vou usar: tomo deslocamento positivo para baixo (isto facilita a interpretação das elongações das barras, que aumentam sob carga para baixo). Não resolvo nada aqui — só organizei os dados e o objetivo.
Passo 2
Estratégia e equações básicas que vou usar (explicadas de forma didática):
- A viga é rígida: isso significa que, quando ela se move, todo o corpo se comporta como um corpo rígido com uma translação vertical
(no ponto , por exemplo) e uma rotação pequena em torno de um eixo perpendicular. Assim, o deslocamento vertical em um ponto a uma distância de é
Aqui
é o deslocamento vertical de
e
é a rotação (radianos), assumidos pequenos.
- As barras trabalham a torção axial (somente alongamento). A relação linear (Lei de Hooke para tração axial) diz que a elongação
de uma barra submetida a força axial é
Alternativamente a rigidez axial da barra é
e
.
- Equilíbrio estático da viga rígida (somatória das forças verticais e somatória dos momentos). Para uma carga distribuída
sobre a extensão , o resultado total é atuando no ponto médio de e . As reações verticais desconhecidas nas barras são (em ) e (em ). As equações de equilíbrio estão escritas assim:
Essas duas equações bastam para determinar
e
(por ser um corpo rígido estático com duas reações).
- Compatibilidade de deslocamentos (condição que liga as elongações das barras com a translação/rotação da viga). Como o topo das barras é fixo, a elongação de cada barra é igual ao deslocamento vertical do ponto da viga onde a barra se conecta:
Também vale
e
.
- Depois de obter
e , a deflexão em (localizado a distância de ) é
Agora uso essas ideias para calcular passo a passo.
Passo 3
Calcular as reações
e
pela estática (a carga total e o braço resultante).
- Primeiro o total da carga distribuída:
- Equilíbrio de momentos em
:
Logo
E da soma das forças:
Comentário didático curto: mesmo com barras de rigidez diferente, as equações de equilíbrio estático para um corpo rígido fornecem
e
únicos aqui porque há duas incógnitas e duas equações (força e momento). As diferenças de rigidez aparecem depois nas deformações (compatibilidade), que determinam a rotação e a translação da viga.
Passo 4
Converter unidades e calcular a elongação de cada barra usando
.
- Converter áreas para metros quadrados e
para pascal: -
- Forças em newtons:
Calcular
:
Faço as contas passo a passo:
Então
Calcular
:
Passos:
Interpretação rápida: a barra direita (alumínio, menor módulo efetivo
) alongou mais (
) que a barra esquerda (
). Essas elongações são os deslocamentos verticais nos pontos
e
.
Passo 5
Usar compatibilidade para obter
e
, depois calcular
.
- Como explicado, a elongação da barra em
é igual ao deslocamento de :
- A elongação da barra em
é
Isolando
:
Substituindo valores (tudo em metros):
- Agora a deflexão no ponto
(distância de ) é
Substituindo:
Em milímetros:
- Interpretação do sinal: como contei deslocamento positivo para baixo,
para baixo (ou seja, a viga afunda em sob a carga ).
Passo 6
Verificação rápida de consistência (checagem mental e numérica):
- As reações
e satisfeitas pelas barras produzem elongações compatíveis com a rotação calculada; diferença entre e de dividida pelo comprimento total dá exatamente . O deslocamento no ponto B fica entre os deslocamentos das extremidades ( em e em ), portanto é consistente.