A viga rígida ABC é suportada por 2 barras com comprimentos idênticos \mathrm{L}=7.0 \mathrm{~m}. A barra (1) é feita de aço (E=200 \mathrm{GPa}) e possui uma área de seção transversal de 175 m m^{2}. A barra (2) é feita de alumínio ( E=70 \mathrm{GPa} ) e uma área de seção transversal de 300 \mathrm{~mm}^{2}. Considere as dimensões \mathrm{a}=1.5 \mathrm{~m} e \mathrm{b}=3.0 \mathrm{~m}. Para uma carga uniformemente distribuída \mathrm{w}=15 \mathrm{kN} / \mathrm{m}, determine a deflexão da viga no ponto B .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes valores da figura):
  • O problema pede a deflexão da viga rígida no ponto B.
  • Geometria da viga (retirada da figura):
    • Distância de A até B: a=1{,}5\\ \text{m}.
    • Distância de B até C: b=3{,}0\\ \text{m}.
    • Comprimento total A C: a+b=4{,}5\\ \text{m}.
  • Barras verticais idênticas em comprimento (valores da figura):
    • Comprimento das barras: L=7{,}0\\ \text{m}.
    • Barra (1) (em A): aço com módulo de elasticidade E_1=200\\ \text{GPa} e área A_1=175\\ \text{mm}^2.
    • Barra (2) (em C): alumínio com E_2=70\\ \text{GPa} e área A_2=300\\ \text{mm}^2.
  • Carga distribuída (da figura):
    • Carga uniformemente distribuída ao longo da viga: w=15\\ \text{kN/m}.
  • O que preciso encontrar:
    • Deformação vertical (deflexão) no ponto B da viga (valor e sentido).
Observação importante sobre convenções que vou usar: tomo deslocamento positivo para baixo (isto facilita a interpretação das elongações das barras, que aumentam sob carga para baixo). Não resolvo nada aqui — só organizei os dados e o objetivo.

Passo 2

Estratégia e equações básicas que vou usar (explicadas de forma didática):
  • A viga é rígida: isso significa que, quando ela se move, todo o corpo se comporta como um corpo rígido com uma translação vertical u (no ponto A, por exemplo) e uma rotação pequena \theta em torno de um eixo perpendicular. Assim, o deslocamento vertical em um ponto a uma distância x de A é
\delta(x)=u+\theta x.
Aqui u é o deslocamento vertical de A e \theta é a rotação (radianos), assumidos pequenos.
  • As barras trabalham a torção axial (somente alongamento). A relação linear (Lei de Hooke para tração axial) diz que a elongação \Delta de uma barra submetida a força axial F é
\Delta=\frac{F\,L}{A E}.
Alternativamente a rigidez axial da barra é k=\dfrac{A E}{L} e F=k\Delta.
  • Equilíbrio estático da viga rígida (somatória das forças verticais e somatória dos momentos). Para uma carga distribuída w sobre a extensão a+b, o resultado total é W=w(a+b) atuando no ponto médio de A e C. As reações verticais desconhecidas nas barras são F_1 (em A) e F_2 (em C). As equações de equilíbrio estão escritas assim:
\sum F_y:\quad F_1+F_2=W,
\sum M_A:\quad F_2\,(a+b)-W\left(\dfrac{a+b}{2}\right)=0.
Essas duas equações bastam para determinar F_1 e F_2 (por ser um corpo rígido estático com duas reações).
  • Compatibilidade de deslocamentos (condição que liga as elongações das barras com a translação/rotação da viga). Como o topo das barras é fixo, a elongação de cada barra é igual ao deslocamento vertical do ponto da viga onde a barra se conecta:
\Delta_1 = \delta(x_A)=u+\theta\cdot 0 = u,
\Delta_2 = \delta(x_C)=u+\theta\,(a+b).
Também vale \Delta_1=\dfrac{F_1 L}{A_1 E_1} e \Delta_2=\dfrac{F_2 L}{A_2 E_2}.
  • Depois de obter u e \theta, a deflexão em B (localizado a distância a de A) é
\delta_B = u+\theta a.
Agora uso essas ideias para calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular as reações F_1 e F_2 pela estática (a carga total e o braço resultante).
  • Primeiro o total da carga distribuída:
W = w\,(a+b) = 15\\ \text{kN/m}\times 4{,}5\\ \text{m} = 67{,}5\\ \text{kN}.
  • Equilíbrio de momentos em A:
F_2\,(a+b) - W\left(\dfrac{a+b}{2}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad F_2=\dfrac{W}{2}.
Logo
F_2=\dfrac{67{,}5\\ \text{kN}}{2}=33{,}75\\ \text{kN}.
E da soma das forças:
F_1=W-F_2=67{,}5-33{,}75=33{,}75\\ \text{kN}.
Comentário didático curto: mesmo com barras de rigidez diferente, as equações de equilíbrio estático para um corpo rígido fornecem F_1 e F_2 únicos aqui porque há duas incógnitas e duas equações (força e momento). As diferenças de rigidez aparecem depois nas deformações (compatibilidade), que determinam a rotação e a translação da viga.

Passo 4

Converter unidades e calcular a elongação de cada barra usando \Delta=\dfrac{F L}{A E}.
  • Converter áreas para metros quadrados e E para pascal:
    • A_1=175\\ \text{mm}^2 = 175\times 10^{-6}\\ \text{m}^2 = 1{,}75\times 10^{-4}\\ \text{m}^2.
    • A_2=300\\ \text{mm}^2 = 300\times 10^{-6}\\ \text{m}^2 = 3{,}00\times 10^{-4}\\ \text{m}^2.
    • E_1=200\\ \text{GPa}=200\times 10^{9}\\ \text{Pa}.
    • E_2=70\\ \text{GPa}=70\times 10^{9}\\ \text{Pa}.
  • Forças em newtons: F_1=F_2=33{,}75\\ \text{kN}=33{,}750\\ \text{N}.
Calcular \Delta_1:
\Delta_1=\frac{F_1 L}{A_1 E_1} =\frac{33{,}750\\ \text{N}\times 7{,}0\\ \text{m}}{(1{,}75\times 10^{-4}\\ \text{m}^2)(200\times 10^{9}\\ \text{Pa})}.
Faço as contas passo a passo:
\text{numerador}=33{,}750\times 7 =236{,}250\\ \text{N}\cdot\text{m},
\text{denominador}=1{,}75\times 10^{-4}\times 200\times 10^{9}=3{,}5\times 10^{7}.
Então
\Delta_1=\frac{236{,}250}{3{,}5\times 10^{7}}=6{,}75\times 10^{-3}\\ \text{m}=6{,}75\\ \text{mm}.
Calcular \Delta_2:
\Delta_2=\frac{F_2 L}{A_2 E_2} =\frac{33{,}750\\ \text{N}\times 7{,}0\\ \text{m}}{(3{,}00\times 10^{-4}\\ \text{m}^2)(70\times 10^{9}\\ \text{Pa})}.
Passos:
\text{denominador}=3{,}00\times 10^{-4}\times 70\times 10^{9}=2{,}10\times 10^{7},
\Delta_2=\frac{236{,}250}{2{,}10\times 10^{7}}=11{,}25\times 10^{-3}\\ \text{m}=11{,}25\\ \text{mm}.
Interpretação rápida: a barra direita (alumínio, menor módulo efetivo AE) alongou mais ( 11{,}25\\ \text{mm}) que a barra esquerda ( 6{,}75\\ \text{mm}). Essas elongações são os deslocamentos verticais nos pontos A e C.

Passo 5

Usar compatibilidade para obter u e \theta, depois calcular \delta_B.
  • Como explicado, a elongação da barra em A é igual ao deslocamento de A:
u=\Delta_1=6{,}75\\ \text{mm}=0{,}00675\\ \text{m}.
  • A elongação da barra em C é
\Delta_2 = u + \theta\,(a+b).
Isolando \theta:
\theta=\frac{\Delta_2-\Delta_1}{a+b}.
Substituindo valores (tudo em metros):
\theta=\frac{0{,}01125-0{,}00675}{4{,}5}=\frac{0{,}00450}{4{,}5}=1{,}0\times 10^{-3}\\ \text{rad}=0{,}001\\ \text{rad}.
  • Agora a deflexão no ponto B (distância a de A) é
\delta_B = u+\theta a.
Substituindo:
\delta_B = 0{,}00675 + 0{,}001\times 1{,}5 = 0{,}00675 + 0{,}0015 = 0{,}00825\\ \text{m}.
Em milímetros:
\delta_B = 8{,}25\\ \text{mm}.
  • Interpretação do sinal: como contei deslocamento positivo para baixo, \delta_B=8{,}25\\ \text{mm} para baixo (ou seja, a viga afunda 8{,}25\\ \text{mm} em B sob a carga w).

Passo 6

Verificação rápida de consistência (checagem mental e numérica):
  • As reações F_1 e F_2 satisfeitas pelas barras produzem elongações compatíveis com a rotação calculada; diferença entre \Delta_2 e \Delta_1 de 4{,}5\\ \text{mm} dividida pelo comprimento total 4{,}5\\ \text{m} dá exatamente \theta=0{,}001\\ \text{rad}. O deslocamento no ponto B fica entre os deslocamentos das extremidades ( u=6{,}75\\ \text{mm} em A e \Delta_2=11{,}25\\ \text{mm} em C ), portanto 8{,}25\\ \text{mm} é consistente.

Resposta

\delta_B = 0{,}00825\\ \text{m} = 8{,}25\\ \text{mm} (para baixo)

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