A haste de latão vermelho C83400 AB e a haste de alumínio 2014-T6 BC estão juntas no colar B e fixadas em suas extremidades. Se não houver carga nos elementos quando T1
, determine a tensão normal média em cada elemento quando T2 =
. Além disso, até que ponto o colar será deslocado? A área de seção transversal de cada elemento é
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a tensão normal média em cada elemento (haste AB de latão e haste BC de alumínio) quando a temperatura sobe de
para . - Determinar o deslocamento do colar
(ou seja, a mudança de posição de medida a partir de ).
Dados fornecidos (peguei os comprimentos da imagem):
- Temperaturas:
, . Logo . - Comprimentos (da imagem):
-
. -
.
-
- Área de seção transversal de cada elemento:
(dado do enunciado). - Materiais: haste AB = latão vermelho C83400; haste BC = alumínio 2014-T6.
- Vou usar propriedades típicas tabeladas para estes materiais (valores padrão usados em muitos exercícios):
- Latão (C83400): coeficiente de dilatação térmica
; módulo de Young (isto é, ). - Alumínio (2014-T6): coeficiente de dilatação térmica
; módulo de Young (isto é, ).
- Latão (C83400): coeficiente de dilatação térmica
Observações importantes:
- As extremidades
e estão fixas nas paredes. As duas hastes estão em série e ligadas em . Assim, a força axial interna é a mesma nas duas hastes (mesma intensidade), e a soma das variações de comprimento deve ser zero porque os apoios em e não se movem. - Vou mostrar com calma a teoria usada e cada passo do cálculo.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que usaremos (aulas curtinhas):
- Dilatação térmica livre de um corpo: se um barra com comprimento
sofre um aumento de temperatura sem restrição, sua variação de comprimento livre é
onde
é o coeficiente de dilatação térmica (unidade
). Aqui
significa alongamento.
- Deformação mecânica por uma força axial
: a barra de área , comprimento e módulo de Young sofre deformação mecânica (alongamento/compressão) dada por
onde
representa força de tração (alongamento) e
representa compressão.
- Para uma haste sujeita tanto a aquecimento quanto a força axial, a variação total de comprimento é soma das duas contribuições:
- Condições do problema (compatibilidade e equilíbrio):
- As duas hastes estão em série entre
e com e fixos. Logo a soma das variações de comprimento deve ser zero:
- A força interna axial
tem a mesma intensidade em ambas as hastes (série). Vou tomar positivo quando a haste estiver em tração; se o resultado for negativo, então a haste está em compressão.
- As duas hastes estão em série entre
Passo 3
Escrever a equação de compatibilidade usando a fórmula do passo anterior:
- Para AB:
- Para BC:
- Como
e são fixos,
Substituindo:
Agrupando os termos em
:
Isolando
:
Interpretação física: se o numerador (que é a expansão térmica total) for positivo (as duas barras, em conjunto, querem alongar), então
fica negativo — ou seja, aparecem forças de compressão para impedir o alongamento.
Passo 4
Substituir os valores numéricos (tudo em unidades consistentes: mm, N/mm^2):
- Dados numéricos já convertidos:
-
. -
, . -
. -
, . -
, .
-
- Calcular o termo térmico total:
Multiplicando por
:
- Calcular o denominador (rigidezes combinadas):
Avaliar numericamente:
soma
- Agora
:
O sinal negativo indica que a força axial é de compressão (as hastes foram comprimidas para evitar o alongamento térmico).
Passo 5
Determinar as tensões normais médias em cada haste:
- A tensão média é
. Como a força é a mesma nas duas hastes, a tensão média tem a mesma intensidade em ambas:
Interpretação: ambas as hastes ficam sujeitas a cerca de
(o sinal negativo indica compressão).
Passo 6
Calcular o deslocamento do colar
medido a partir de
:
- O deslocamento de
em relação a é exatamente a variação de comprimento de :
Substituindo números:
logo
Significado: o colar
desloca-se
no sentido do alongamento térmico (para a direita, ou seja, aumentando a coordenada
medida a partir de
). Note que a haste
se alongou ligeiramente no resultado final (já que sua dilatação térmica foi maior que a compressão mecânica nessa barra), enquanto a haste
apresentou encurtamento tal que a soma das variações deu zero (apoios fixos).
Passo 7
Resumo físico e verificação rápida:
- A tensão calculada é compatível com a estimativa
(ordem de grandeza): por exemplo para o latão , e nosso valor de está próximo (diferença porque as duas barras repartem o esforço). - O deslocamento de
é muito pequeno ( ), como esperado em barras rígidas com pequenas dilatações térmicas.