A haste de latão vermelho C83400 AB e a haste de alumínio 2014-T6 BC estão juntas no colar B e fixadas em suas extremidades. Se não houver carga nos elementos quando T1 =10^{\circ} \mathrm{C}, determine a tensão normal média em cada elemento quando T2 = 45^{\circ} \mathrm{C}. Além disso, até que ponto o colar será deslocado? A área de seção transversal de cada elemento é 1130 \mathrm{~mm}^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a tensão normal média em cada elemento (haste AB de latão e haste BC de alumínio) quando a temperatura sobe de T_1=10^\circ\mathrm{C} para T_2=45^\circ\mathrm{C}.
  • Determinar o deslocamento do colar B (ou seja, a mudança de posição de B medida a partir de A).
Dados fornecidos (peguei os comprimentos da imagem):
  • Temperaturas: T_1=10^\circ\mathrm{C}, T_2=45^\circ\mathrm{C}. Logo \Delta T=T_2-T_1=35^\circ\mathrm{C}.
  • Comprimentos (da imagem):
    • L_{AB}=1{,}0\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}.
    • L_{BC}=0{,}6\\ \mathrm{m}=600\\ \mathrm{mm}.
  • Área de seção transversal de cada elemento: A=1130\\ \mathrm{mm}^2 (dado do enunciado).
  • Materiais: haste AB = latão vermelho C83400; haste BC = alumínio 2014-T6.
  • Vou usar propriedades típicas tabeladas para estes materiais (valores padrão usados em muitos exercícios):
    • Latão (C83400): coeficiente de dilatação térmica \alpha_{AB}=19{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}; módulo de Young E_{AB}=100{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2 (isto é, 100\\ \mathrm{GPa}).
    • Alumínio (2014-T6): coeficiente de dilatação térmica \alpha_{BC}=23{,}6\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}; módulo de Young E_{BC}=73{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2 (isto é, 73\\ \mathrm{GPa}).
Observações importantes:
  • As extremidades A e C estão fixas nas paredes. As duas hastes estão em série e ligadas em B. Assim, a força axial interna é a mesma nas duas hastes (mesma intensidade), e a soma das variações de comprimento deve ser zero porque os apoios em A e C não se movem.
  • Vou mostrar com calma a teoria usada e cada passo do cálculo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que usaremos (aulas curtinhas):
  • Dilatação térmica livre de um corpo: se um barra com comprimento L sofre um aumento de temperatura \Delta T sem restrição, sua variação de comprimento livre é
\Delta L_{\text{th}}=\alpha\,\Delta T\,L,
onde \alpha é o coeficiente de dilatação térmica (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}). Aqui \Delta L_{\text{th}}>0 significa alongamento.
  • Deformação mecânica por uma força axial N: a barra de área A, comprimento L e módulo de Young E sofre deformação mecânica (alongamento/compressão) dada por
\Delta L_{\text{mech}}=\frac{N L}{A E},
onde N>0 representa força de tração (alongamento) e N<0 representa compressão.
  • Para uma haste sujeita tanto a aquecimento quanto a força axial, a variação total de comprimento é soma das duas contribuições:
\Delta L=\Delta L_{\text{th}}+\Delta L_{\text{mech}}=\alpha\Delta T\,L+\frac{N L}{A E}.
  • Condições do problema (compatibilidade e equilíbrio):
    • As duas hastes estão em série entre A e C com A e C fixos. Logo a soma das variações de comprimento deve ser zero:
    \Delta L_{AB}+\Delta L_{BC}=0.
    • A força interna axial N tem a mesma intensidade em ambas as hastes (série). Vou tomar N positivo quando a haste estiver em tração; se o resultado for negativo, então a haste está em compressão.

Passo 3

Escrever a equação de compatibilidade usando a fórmula do passo anterior:
  • Para AB:
\Delta L_{AB}=\alpha_{AB}\Delta T\,L_{AB}+\frac{N L_{AB}}{A E_{AB}}.
  • Para BC:
\Delta L_{BC}=\alpha_{BC}\Delta T\,L_{BC}+\frac{N L_{BC}}{A E_{BC}}.
  • Como A e C são fixos,
\Delta L_{AB}+\Delta L_{BC}=0.
Substituindo:
\alpha_{AB}\Delta T\,L_{AB}+\frac{N L_{AB}}{A E_{AB}} +\alpha_{BC}\Delta T\,L_{BC}+\frac{N L_{BC}}{A E_{BC}}=0.
Agrupando os termos em N:
N\left(\frac{L_{AB}}{A E_{AB}}+\frac{L_{BC}}{A E_{BC}}\right) + \Delta T\left(\alpha_{AB}L_{AB}+\alpha_{BC}L_{BC}\right)=0.
Isolando N:
N=-\,\dfrac{\Delta T\left(\alpha_{AB}L_{AB}+\alpha_{BC}L_{BC}\right)} {\dfrac{L_{AB}}{A E_{AB}}+\dfrac{L_{BC}}{A E_{BC}}}.
Interpretação física: se o numerador (que é a expansão térmica total) for positivo (as duas barras, em conjunto, querem alongar), então N fica negativo — ou seja, aparecem forças de compressão para impedir o alongamento.

Passo 4

Substituir os valores numéricos (tudo em unidades consistentes: mm, N/mm^2):
  • Dados numéricos já convertidos:
    • \Delta T=35^\circ\mathrm{C}.
    • L_{AB}=1000\\ \mathrm{mm}, L_{BC}=600\\ \mathrm{mm}.
    • A=1130\\ \mathrm{mm}^2.
    • \alpha_{AB}=19{,}0\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}, \alpha_{BC}=23{,}6\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • E_{AB}=100{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2, E_{BC}=73{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2.
  • Calcular o termo térmico total:
\alpha_{AB}L_{AB}+\alpha_{BC}L_{BC} =19{,}0\times10^{-6}\cdot1000 + 23{,}6\times10^{-6}\cdot600 =0{,}019 + 0{,}01416 = 0{,}03316\\ \mathrm{mm}/^\circ\mathrm{C}.
Multiplicando por \Delta T:
\Delta T\left(\alpha_{AB}L_{AB}+\alpha_{BC}L_{BC}\right) =35\cdot0{,}03316 = 1{,}1606\\ \mathrm{mm}.
  • Calcular o denominador (rigidezes combinadas):
\frac{L_{AB}}{A E_{AB}}+\frac{L_{BC}}{A E_{BC}} =\frac{1000}{1130\cdot100{,}000}+\frac{600}{1130\cdot73{,}000}.
Avaliar numericamente:
\frac{1000}{1130\cdot100{,}000}=8{,}8496\times10^{-6}\\ \mathrm{N}^{-1},
\frac{600}{1130\cdot73{,}000}=7{,}2734\times10^{-6}\\ \mathrm{N}^{-1},
soma
\frac{L_{AB}}{A E_{AB}}+\frac{L_{BC}}{A E_{BC}}=1{,}6123\times10^{-5}\\ \mathrm{N}^{-1}.
  • Agora N:
N=-\frac{1{,}1606}{1{,}6123\times10^{-5}}=-71{,}983\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox.}).
O sinal negativo indica que a força axial é de compressão (as hastes foram comprimidas para evitar o alongamento térmico).

Passo 5

Determinar as tensões normais médias em cada haste:
  • A tensão média é \sigma=N/A. Como a força é a mesma nas duas hastes, a tensão média tem a mesma intensidade em ambas:
\sigma_{AB}=\sigma_{BC}=\frac{N}{A}=\frac{-71{,}983}{1130}=-63{,}7\\ \mathrm{N/mm}^2\\ (\text{compressão}).ã
Interpretação: ambas as hastes ficam sujeitas a cerca de -63{,}7\\ \mathrm{N/mm}^2 (o sinal negativo indica compressão).

Passo 6

Calcular o deslocamento do colar B medido a partir de A:
  • O deslocamento de B em relação a A é exatamente a variação de comprimento de AB:
\delta_B=\Delta L_{AB}=\alpha_{AB}\Delta T\,L_{AB}+\frac{N L_{AB}}{A E_{AB}}.
Substituindo números:
\alpha_{AB}\Delta T\,L_{AB}=19{,}0\times10^{-6}\cdot35\cdot1000=0{,}665\\ \mathrm{mm},
\frac{N L_{AB}}{A E_{AB}}=\frac{-71{,}983\cdot1000}{1130\cdot100{,}000}=-0{,}6363\\ \mathrm{mm},
logo
\delta_B=0{,}665 - 0{,}6363 = 0{,}0287\\ \mathrm{mm}.
Significado: o colar B desloca-se 0{,}0287\\ \mathrm{mm} no sentido do alongamento térmico (para a direita, ou seja, aumentando a coordenada x medida a partir de A). Note que a haste AB se alongou ligeiramente no resultado final (já que sua dilatação térmica foi maior que a compressão mecânica nessa barra), enquanto a haste BC apresentou encurtamento tal que a soma das variações deu zero (apoios fixos).

Passo 7

Resumo físico e verificação rápida:
  • A tensão calculada é compatível com a estimativa \sigma\approx -E\alpha\Delta T (ordem de grandeza): por exemplo para o latão E\alpha\Delta T\approx100{,}000\cdot19\times10^{-6}\cdot35\approx66{,}5\\ \mathrm{N/mm}^2, e nosso valor de -63{,}7\\ \mathrm{N/mm}^2 está próximo (diferença porque as duas barras repartem o esforço).
  • O deslocamento de B é muito pequeno ( \approx0{,}03\\ \mathrm{mm}), como esperado em barras rígidas com pequenas dilatações térmicas.

Resposta

\sigma_{AB}=-63{,}7\\ \mathrm{N/mm}^2 (compressão)
\sigma_{BC}=-63{,}7\\ \mathrm{N/mm}^2 (compressão)
\delta_{B}=0{,}0287\\ \mathrm{mm} (deslocamento para a direita)

Exercícios relacionados