Um conjunto de dados inclui uma amostra de 27 balas M & M azuis, com um peso médio de 0,8560 g. Suponha que os pesos são normalmente distribuídos e que sigma seja conhecido e igual a 0,0565 g. Considere um teste de hipótese que use o nível de significância de 0,05 para testar a afirmativa de que o peso médio de todas as balas M & M é 0,8535 g (o peso necessário para que as embalagens de balas M&M tenham o peso correto nela impresso).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de dados com uma amostra de 27 balas M&M azuis, onde o peso médio dessas balas é de 0,8560 g. A gente sabe que esses pesos seguem uma distribuição normal e que o desvio padrão conhecido é de 0,0565 g. A tarefa aqui é realizar um teste de hipótese com um nível de significância de 0,05 para verificar se o peso médio de todas as balas M&M é realmente 0,8535 g, que é o peso que está impresso nas embalagens. Vamos usar conceitos de teste de hipóteses e distribuição normal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste. A hipótese nula ( H0) é que o peso médio das balas M&M é igual a 0,8535 g. A hipótese alternativa ( Ha) é que o peso médio é diferente de 0,8535 g. Isso porque queremos verificar se há uma diferença significativa, seja maior ou menor.
H0: mu = 0,8535 , g
Ha: mu neq 0,8535 , g

Passo 3

Como conhecemos o desvio padrão da população ( sigma = 0,0565 , g) e a amostra é relativamente pequena ( n = 27), vamos usar o teste z para comparação. A fórmula do teste z é:
z = barx - mu0sigma / raizn
Onde:
  • barx é a média da amostra (0,8560 g),
  • mu0 é a média sob a hipótese nula (0,8535 g),
  • sigma é o desvio padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos calcular o valor z usando os números fornecidos:
z = 0,8560 - 0,85350,0565 / raiz27 approx 0,00250,0109 approx 0,229
Agora, precisamos comparar esse valor z com os valores críticos para um nível de significância de 0,05 em um teste bicaudal. Os valores críticos para alpha = 0,05 são aproximadamente -1,96 e +1,96.

Passo 5

Como o valor calculado de z (≈0,229) está entre -1,96 e +1,96, não está na região de rejeição. Isso significa que não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, não há evidências suficientes para afirmar que o peso médio das balas M&M difere de 0,8535 g no nível de significância de 5%. Portanto, podemos concluir que o peso médio das balas está conforme o especificado nas embalagens.

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