Quando 40 pessoas usaram a dieta Atkins por um ano, a mudança média de seus pesos foi de -2,11 b. Suponha que o desvio padrão de todas as mudanças de peso seja sigma=4,81 b e use o nível de significância de 0,01 para testar a afirmativa de que a mudança média de peso seja menor do que zero.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos 40 pessoas que seguiram a dieta Atkins por um ano, e a mudança média de peso delas foi de -2,11 b. O desvio padrão conhecido é sigma = 4,81 b. Queremos testar, com nível de significância de 0,01, se a mudança média de peso é menor do que zero. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipótese para a média com desvio padrão conhecido, chamado de teste Z.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que queremos testar. A hipótese nula ( H0) geralmente representa a afirmação de que não há efeito, enquanto a hipótese alternativa ( Ha) é o que queremos evidenciar.
  • Hipótese nula ( H0): A mudança média de peso é igual a zero.
    H0: mu = 0
  • Hipótese alternativa ( Ha): A mudança média de peso é menor que zero.
    Ha: mu < 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a estatística de teste Z. A fórmula para o teste Z quando o desvio padrão é conhecido é:
Z = x - mu0sigma / raizn
Onde:
  • x = -2,11 (média amostral)
  • mu0 = 0 (média segundo a hipótese nula)
  • sigma = 4,81 (desvio padrão)
  • n = 40 (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Z = -2,11 - 04,81 / raiz40
Primeiro, calculamos o denominador:
raiz40 approx 6,3246
Então:
4,81 / 6,3246 approx 0,760
Agora, calculamos Z:
Z = -2,110,760 approx -2,776

Passo 4

Precisamos encontrar o valor crítico para o nível de significância de 0,01 em um teste unilateral à esquerda. Isso significa que estamos procurando o valor de Z que deixa 1% da distribuição à esquerda.
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma ferramenta estatística, encontramos que o valor crítico para 0,01 é aproximadamente -2,326.

Passo 5

Comparando o valor calculado de Z com o valor crítico:
Zcalculado = -2,776
Zcrítico = -2,326 í
Como -2,776 < -2,326, o valor calculado está na região de rejeição.

Resposta

Como Z = -2,776 é menor que Zcrítico = -2,326í, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para afirmar, com nível de significância de 0,01, que a mudança média de peso é menor do que zero.

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