Se um conjunto de dados tem uma mediana de 15 e um novo valor 30 é adicionado, o que pode acontecer com a nova mediana?

Passo 1

O enunciado diz que um conjunto de dados tem mediana igual a \,15 e, em seguida, adicionamos um novo valor \,30. O conteúdo é estatística descritiva, especificamente o conceito de mediana, que é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados ordenados.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de mediana:
Se o número de observações n é ímpar, a mediana é o valor na posição \tfrac{n+1}{2} após ordenar os dados.
Se n é par, a mediana é a média dos valores nas posições \tfrac{n}{2} e \tfrac{n}{2}+1.

Passo 3

Ao adicionar o valor \,30, temos duas situações iniciais para n:
  • Se n era ímpar, o novo total n+1 fica par. A mediana passa a ser a média de dois valores centrais, um deles originalmente era a mediana antiga ( 15) e o outro é o próximo valor logo acima de 15 na ordenação original.
  • Se n era par, o novo total n+1 fica ímpar. A mediana será exatamente o valor que ficava na posição \tfrac{n}{2}+1 antes de inserir o 30.
Em ambos os casos, como 30 é maior que a mediana antiga, ele entra na “metade superior” dos dados e não pode deslocar nenhum valor menor que 15 para a posição de mediana.

Passo 4

Para ver que a nova mediana pode permanecer 15, considere um exemplo com n par, por exemplo os dados
[5,\;15,\;15,\;40]
a mediana é
\frac{15 + 15}{2} = 15.
Ao inserir 30, ficamos com
[5,\;15,\;15,\;30,\;40],
onde a mediana (valor na posição 3 de 5) continua sendo 15.

Passo 5

Para ver que a nova mediana pode aumentar, considere um exemplo com n ímpar, por exemplo
[1,\;15,\;20]
sendo mediana 15. Inserindo 30, temos
[1,\;15,\;20,\;30]
e a mediana passa a ser
\frac{15 + 20}{2} = 17{,}5,
que é maior que 15.

Resposta

A nova mediana pode permanecer igual a 15 ou aumentar acima de 15, mas nunca diminuir.

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