Dê o conjunto domínio e imagem das seguintes funções recíprocas
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede “o conjunto domínio e imagem das seguintes funções recíprocas”. Há uma ambiguidade comum em português: “função recíproca” pode significar a função inversa
ou a recíproca multiplicativa
. Aqui eu vou identificar claramente o que o enunciado disponibiliza e quais perguntas vamos responder:
- Função dada:
. - Pedidos que vamos responder (todos relacionados à função dada):
- Domínio e imagem de
. - Função inversa
, e domínio e imagem de . - (Opcional — porque às vezes se chama “recíproca” a multiplicativa) A recíproca multiplicativa
, com seu domínio e imagem.
- Domínio e imagem de
Passo 2
Antes de começar a manipular, vamos lembrar o que significam “domínio” e “imagem” de forma bem prática:
- Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
que podemos colocar na expressão da função sem gerar contradição (por exemplo, divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo, dependendo do tipo de função). Em outras palavras, os permitidos. - Imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de todos os valores
que a função realmente assume quando percorre o domínio. Uma forma prática de achar a imagem é resolver a equação em função de e ver para quais existe solução viável.
Vou aplicar essas definições passo a passo.
Passo 3
Encontrar o domínio de
.
A única restrição óbvia na expressão de é que o denominador não pode ser zero. Portanto impomos
A única restrição óbvia na expressão de
Resolvendo,
Logo o domínio de
é todos os reais exceto
. Em notação:
Passo 4
Agora vamos achar a imagem de
. Procedimento padrão e seguro: tomamos um valor genérico
e resolvemos a equação
para
; os valores de
que impossibilitam solução são exatamente os que não estão na imagem.
Começamos com
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que isso só é válido para
, que já excluímos do domínio):
Expandindo o lado esquerdo:
Agrupamos os termos que contêm
no mesmo lado:
Fatoramos
no lado esquerdo:
Agora isolamos
:
Isso mostra que, para um dado
, existe um
(na fórmula acima) que produz esse
, exceto quando o denominador da expressão para
é zero. Portanto devemos exigir
Concluímos que todo
com
tem pelo menos um
associado (e esse
não é a excluída
, porque a tentativa de obter
levaria ao denominador zero na definição original). Portanto a imagem é
Explicação intuitiva rápida (ajuda na prova): a função é uma função racional do tipo afim sobre afim (função homográfica), e tais funções têm uma assimptota horizontal
coeficiente dos
do numerador dividido pelo coeficiente dos
do denominador, aqui
; por isso
é o valor que a função nunca atinge — confirma o que encontramos algebricamente.
Passo 5
Encontrar a função inversa
. Lembrete prático: para achar
trocamos
e
na equação
e resolvemos para
. Já fizemos a resolução no passo anterior quando isolamos
em termos de
. Reescrevendo aquela expressão e trocando os nomes das variáveis (substituir
por
para obter a fórmula da inversa), obtemos
Agora, como regra geral, o domínio de
é a imagem de
e a imagem de
é o domínio de
. Portanto:
(Se quiser, você pode verificar impondo que o denominador de
não seja zero:
, que confirma
.)
Passo 6
Comentário sobre a “recíproca multiplicativa”
(só para evitar confusão caso o enunciado quisesse isso em vez da inversa). A função recíproca multiplicativa é
Simplificando um pouco, poderíamos escrever
O domínio desta função exige que nem o denominador original nem o numerador original do
causem problema: tem que evitar
(para não dividir por zero na definição de
) e também evitar
(porque estamos fazendo
). As proibições são:
-
(polo de ), -
(zero de , donde seria indefinido).
Logo
A imagem de
são todos os reais que podem ser escritos como
com
. Isso equivale a todos os
tal que
(porque
não existe para
) e
(porque
nunca vale
). A condição
é equivalente a
. Portanto
Resposta
Domínio de
:
Imagem de :
Domínio de :
Imagem de :
Domínio de (recíproca multiplicativa):
Imagem de :
Imagem de
Domínio de
Imagem de
Domínio de
Imagem de