Dê o conjunto domínio e imagem das seguintes funções recíprocas
f(x)=\frac{-2 x+6}{2 x-3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{-2x+6}{2x-3}
e pede “o conjunto domínio e imagem das seguintes funções recíprocas”. Há uma ambiguidade comum em português: “função recíproca” pode significar a função inversa f^{-1} ou a recíproca multiplicativa 1/f. Aqui eu vou identificar claramente o que o enunciado disponibiliza e quais perguntas vamos responder:
  • Função dada: \displaystyle f(x)=\frac{-2x+6}{2x-3}.
  • Pedidos que vamos responder (todos relacionados à função dada):
    1. Domínio e imagem de f.
    2. Função inversa f^{-1}, e domínio e imagem de f^{-1}.
    3. (Opcional — porque às vezes se chama “recíproca” a multiplicativa) A recíproca multiplicativa 1/f, com seu domínio e imagem.

Passo 2

Antes de começar a manipular, vamos lembrar o que significam “domínio” e “imagem” de forma bem prática:
  • Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x que podemos colocar na expressão da função sem gerar contradição (por exemplo, divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo, dependendo do tipo de função). Em outras palavras, os x permitidos.
  • Imagem (ou conjunto imagem) é o conjunto de todos os valores y que a função realmente assume quando x percorre o domínio. Uma forma prática de achar a imagem é resolver a equação y=f(x) em função de x e ver para quais y existe solução viável.
Vou aplicar essas definições passo a passo.

Passo 3

Encontrar o domínio de f.
A única restrição óbvia na expressão de f é que o denominador não pode ser zero. Portanto impomos
2x-3\neq 0.
Resolvendo,
2x\neq 3\quad\Rightarrow\quad x\neq \tfrac{3}{2}.
Logo o domínio de f é todos os reais exceto \tfrac{3}{2}. Em notação:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{3}{2}\}.

Passo 4

Agora vamos achar a imagem de f. Procedimento padrão e seguro: tomamos um valor genérico y e resolvemos a equação y=f(x) para x; os valores de y que impossibilitam solução são exatamente os que não estão na imagem.
Começamos com
y=\frac{-2x+6}{2x-3}.
Multiplicando ambos os lados por 2x-3 (lembrando que isso só é válido para x\neq\tfrac{3}{2}, que já excluímos do domínio):
y(2x-3)=-2x+6.
Expandindo o lado esquerdo:
2xy-3y=-2x+6.
Agrupamos os termos que contêm x no mesmo lado:
2xy+2x=3y+6.
Fatoramos x no lado esquerdo:
x(2y+2)=3y+6.
Agora isolamos x:
x=\frac{3y+6}{2y+2}.
Isso mostra que, para um dado y, existe um x (na fórmula acima) que produz esse y, exceto quando o denominador da expressão para x é zero. Portanto devemos exigir
2y+2\neq 0 \quad\Rightarrow\quad y\neq -1.
Concluímos que todo y\in\mathbb{R} com y\neq -1 tem pelo menos um x associado (e esse x não é a excluída \tfrac{3}{2}, porque a tentativa de obter x=\tfrac{3}{2} levaria ao denominador zero na definição original). Portanto a imagem é
\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
Explicação intuitiva rápida (ajuda na prova): a função é uma função racional do tipo afim sobre afim (função homográfica), e tais funções têm uma assimptota horizontal y= coeficiente dos x do numerador dividido pelo coeficiente dos x do denominador, aqui -2/2=-1; por isso y=-1 é o valor que a função nunca atinge — confirma o que encontramos algebricamente.

Passo 5

Encontrar a função inversa f^{-1}. Lembrete prático: para achar f^{-1} trocamos x e y na equação y=f(x) e resolvemos para y. Já fizemos a resolução no passo anterior quando isolamos x em termos de y. Reescrevendo aquela expressão e trocando os nomes das variáveis (substituir y por x para obter a fórmula da inversa), obtemos
f^{-1}(x)=\frac{3x+6}{2x+2}.
Agora, como regra geral, o domínio de f^{-1} é a imagem de f e a imagem de f^{-1} é o domínio de f. Portanto:
\text{Dom}(f^{-1})=\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\},
\text{Im}(f^{-1})=\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{3}{2}\}.
(Se quiser, você pode verificar impondo que o denominador de f^{-1} não seja zero: 2x+2\neq0\Rightarrow x\neq-1, que confirma \text{Dom}(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.)

Passo 6

Comentário sobre a “recíproca multiplicativa” 1/f (só para evitar confusão caso o enunciado quisesse isso em vez da inversa). A função recíproca multiplicativa é
\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\dfrac{-2x+6}{2x-3}}=\frac{2x-3}{-2x+6}.
Simplificando um pouco, poderíamos escrever
\frac{1}{f(x)}=-\frac{2x-3}{2x-6}.
O domínio desta função exige que nem o denominador original nem o numerador original do f causem problema: tem que evitar 2x-3=0 (para não dividir por zero na definição de f) e também evitar f(x)=0 (porque estamos fazendo 1/f). As proibições são:
  • 2x-3\neq 0\Rightarrow x\neq\tfrac{3}{2} (polo de f),
  • -2x+6\neq 0\Rightarrow x\neq 3 (zero de f, donde 1/f seria indefinido).
    Logo
\text{Dom}\!\left(\tfrac{1}{f}\right)=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{3}{2},\,3\}.
A imagem de 1/f são todos os reais que podem ser escritos como 1/y com y\in\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}. Isso equivale a todos os t\in\mathbb{R} tal que t\neq 0 (porque 1/t não existe para t=0) e 1/t\neq -1 (porque f nunca vale -1). A condição 1/t\neq -1 é equivalente a t\neq -1. Portanto
\text{Im}\!\left(\tfrac{1}{f}\right)=\mathbb{R}\setminus\{0,\,-1\}.

Resposta

Domínio de f: \mathbb{R}\setminus\{\tfrac{3}{2}\}
Imagem de f: \mathbb{R}\setminus\{-1\}
f^{-1}(x)=\dfrac{3x+6}{2x+2}
Domínio de f^{-1}: \mathbb{R}\setminus\{-1\}
Imagem de f^{-1}: \mathbb{R}\setminus\{\tfrac{3}{2}\}
Domínio de \dfrac{1}{f} (recíproca multiplicativa): \mathbb{R}\setminus\{\tfrac{3}{2},\,3\}
Imagem de \dfrac{1}{f}: \mathbb{R}\setminus\{0,\,-1\}

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