Construa o gráfico das seguintes funções módulo:
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função
Informações dadas: a expressão explícita de
. O objetivo é desenhar (ou descrever com pontos e retas) o gráfico dessa função módulo.
Passo 2
Primeiro conceito que precisamos dominar (aula rápida): definição do módulo. Para qualquer expressão
Aqui
, vamos estudar onde
é não negativo e onde é negativo — isso nos dá duas fórmulas lineares diferentes para
. Esse é o método piecewise (por partes), que é simples e direto para funções módulo.]
Passo 3
Ache a fronteira onde a expressão dentro do módulo muda de sinal. Resolvemos
Logo, a linha
é o ponto em que a expressão interna zera e o comportamento muda. Agora aplicamos a definição do módulo em cada região.
Passo 4
Determine a expressão de
para cada intervalo:
- Para
, temos , então
- Para
, temos , então
Portanto
é uma função peça a peça linear (duas retas) que se unem em
.
Passo 5
Encontre pontos chave para desenhar:
- Valor em
:
então o vértice da “V” está em
.
- Intercepto com o eixo
(colocar ):
portanto o ponto
está no gráfico.
- Outros pontos úteis (calcule substituindo na fórmula apropriada):
então
.
então
.
Passo 6
Interpretação geométrica e inclinações:
- Para
a expressão é , que é uma reta com coeficiente angular (inclinação) . Isso significa que, ao mover unidade à direita, diminui em . - Para
a expressão é , reta com inclinação . Ao mover unidade à direita, aumenta em . - O gráfico é uma letra “V” com vértice em
, ramo esquerdo com inclinação e ramo direito com inclinação .
Passo 7
Dica alternativa (método de transformações) — útil para prova rápida: fatorando
obtemos
Isto diz que pegamos o gráfico de
, deslocamos 3 unidades à direita (para obter
) e esticamos verticalmente por um fator
. Esse procedimento dá o mesmo gráfico: vértice em
, simetria em torno de
e alturas dobradas comparadas a
.
Passo 8
Como desenhar rapidamente na prova (passo a passo prático):
- Calcule o ponto crítico
onde a expressão dentro do módulo zera; marque . - Calcule o intercepto em
com para ter um ponto no ramo esquerdo: . - Calcule mais um ponto à esquerda (por exemplo
) e um à direita (por exemplo ). - Desenhe a reta que passa por esses pontos à esquerda (
) e a reta à direita ( ), conectando-as no vértice. Extenda as retas indefinidamente.
Resposta
Vértice:
Intercepto em :
Pontos úteis:
Domínio:
Imagem (contradomínio efetivo):
Inclinações: ramo esquerdo , ramo direito
]
Intercepto em
Pontos úteis:
Domínio:
Imagem (contradomínio efetivo):
Inclinações: ramo esquerdo