Construa o gráfico das seguintes funções módulo:
f(x)=|2 x-6|

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função
f(x)=|2x-6|.
Informações dadas: a expressão explícita de f(x). O objetivo é desenhar (ou descrever com pontos e retas) o gráfico dessa função módulo.

Passo 2

Primeiro conceito que precisamos dominar (aula rápida): definição do módulo. Para qualquer expressão u\), \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui u\] é a expressão dentro do módulo. Aplicando essa definição a \(f(x)=|2x-6|, vamos estudar onde 2x-6 é não negativo e onde é negativo — isso nos dá duas fórmulas lineares diferentes para f. Esse é o método piecewise (por partes), que é simples e direto para funções módulo.]

Passo 3

Ache a fronteira onde a expressão dentro do módulo muda de sinal. Resolvemos
2x-6=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Logo, a linha x=3 é o ponto em que a expressão interna zera e o comportamento muda. Agora aplicamos a definição do módulo em cada região.

Passo 4

Determine a expressão de f para cada intervalo:
  • Para x\ge 3, temos 2x-6\ge0, então
f(x)=2x-6 \quad\text{para } x\ge 3.
  • Para x<3, temos 2x-6<0, então
f(x)=-(2x-6)=-2x+6 \quad\text{para } x<3.
Portanto f é uma função peça a peça linear (duas retas) que se unem em x=3.

Passo 5

Encontre pontos chave para desenhar:
  • Valor em x=3:
f(3)=|2\cdot 3-6|=|0|=0,
então o vértice da “V” está em (3,0).
  • Intercepto com o eixo y (colocar x=0):
f(0)=|2\cdot 0-6|=|-6|=6,
portanto o ponto (0,6) está no gráfico.
  • Outros pontos úteis (calcule substituindo na fórmula apropriada):
f(2)=|-2|=2\quad\text{(ou usar }-2\cdot 2+6=2\text{)},
então (2,2).
f(4)=|8-6|=2\quad\text{(ou usar }2\cdot 4-6=2\text{)},
então (4,2).
f(5)=2\cdot 5-6=4\quad\text{(logo }(5,4)\text{)}.

Passo 6

Interpretação geométrica e inclinações:
  • Para x<3 a expressão é f(x)=-2x+6, que é uma reta com coeficiente angular (inclinação) -2. Isso significa que, ao mover 1 unidade à direita, f diminui em 2.
  • Para x\ge 3 a expressão é f(x)=2x-6, reta com inclinação 2. Ao mover 1 unidade à direita, f aumenta em 2.
  • O gráfico é uma letra “V” com vértice em (3,0), ramo esquerdo com inclinação -2 e ramo direito com inclinação 2.

Passo 7

Dica alternativa (método de transformações) — útil para prova rápida: fatorando 2 obtemos
f(x)=|2x-6|=2|x-3|.
Isto diz que pegamos o gráfico de g(x)=|x|, deslocamos 3 unidades à direita (para obter |x-3|) e esticamos verticalmente por um fator 2. Esse procedimento dá o mesmo gráfico: vértice em (3,0), simetria em torno de x=3 e alturas dobradas comparadas a |x-3|.

Passo 8

Como desenhar rapidamente na prova (passo a passo prático):
  1. Calcule o ponto crítico x=3 onde a expressão dentro do módulo zera; marque (3,0).
  2. Calcule o intercepto em y com x=0 para ter um ponto no ramo esquerdo: (0,6).
  3. Calcule mais um ponto à esquerda (por exemplo (2,2)) e um à direita (por exemplo (4,2)).
  4. Desenhe a reta que passa por esses pontos à esquerda ( y=-2x+6) e a reta à direita ( y=2x-6), conectando-as no vértice. Extenda as retas indefinidamente.

Resposta

f(x)= \begin{cases} -2x+6, & x<3,\\[4pt] 2x-6, & x\ge 3. \end{cases}
Vértice: (3,0)
Intercepto em y: (0,6)
Pontos úteis: (2,2),(3,0),(4,2),(5,4)
Domínio: \mathbb{R}
Imagem (contradomínio efetivo): [0,\infty)
Inclinações: ramo esquerdo -2, ramo direito 2]

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