Construa o gráfico das seguintes funções módulo:
g(x)=\left|x^{2}-8 x+12\right|

Passo 1

O enunciado pede: construir o gráfico da função módulo
g(x)=\left|x^{2}-8x+12\right|.
Informações dadas:
  • A expressão interna ao módulo é \;x^{2}-8x+12\;.
  • Preciso desenhar (ou descrever) o gráfico de g(x), ou seja, como a função se comporta para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro vamos estudar a parábola interna sem o módulo: defina
f(x)=x^{2}-8x+12.
Fatorando f(x) obtemos:
f(x)=x^{2}-8x+12=(x-2)(x-6).
Isto nos dá imediatamente as raízes de f: \;x=2\; e \;x=6\;. Esses são pontos onde f(x)=0, portanto também serão pontos onde g(x)=|f(x)|=0.

Passo 3

Vamos achar o vértice da parábola f. Para uma quadrática ax^{2}+bx+c o vértice tem abscissa
x_v=-\frac{b}{2a}.
Aqui a=1 e b=-8, então
x_v=-\frac{-8}{2\cdot1}=4.
A ordenada do vértice é f(4). Calcule:
f(4)=4^{2}-8\cdot4+12=16-32+12=-4.
Portanto o vértice de f é (4,-4). Como a=1>0, f é uma parábola côncava para cima (vértice mínimo).

Passo 4

Entenda o efeito do módulo: por definição de valor absoluto,
|h(x)|= \begin{cases} h(x), &\text{se }h(x)\ge 0,\\[4pt] -h(x), &\text{se }h(x)<0. \end{cases}
Aplicando a f(x):
  • Onde f(x)\ge 0 (ou seja, fora do intervalo entre as raízes), temos g(x)=f(x)=x^{2}-8x+12.
  • Onde f(x)<0 (entre x=2 e x=6), temos g(x)=-f(x)=-x^{2}+8x-12.
Isso significa geometricamente: pegamos o gráfico da parábola f e refletimos para cima (em relação ao eixo x) as partes que estavam abaixo do eixo x.]

Passo 5

Escrevemos então a forma peça-a-peça de g\): \[g(x)=\begin{cases} x^{2}-8x+12, & x\in(-\infty,2]\cup[6,\infty),\\[6pt] -x^{2}+8x-12, & x\in[2,6]. \end{cases}
Observações importantes:
  • Em x=2\] e \(x=6 ambas as expressões valem 0, então g é contínua nesses pontos.
  • No intervalo [2,6] a expressão -x^{2}+8x-12 é uma parábola côncava para baixo (coeficiente -1), com vértice no mesmo x=4. Calcule a ordenada desse vértice:
g(4)=|f(4)|=|-4|=4.
Logo o pedaço interno atinge um máximo local em (4,4).
  • Fora de [2,6] o gráfico é exatamente a mesma parábola côncava para cima de f.]

Passo 6

Calcule alguns pontos para guiar o desenho (mostram a simetria em torno de x=4):
\begin{aligned} g(0)&=|f(0)|=|12|=12,\\\ g(1)&=|f(1)|=|1-8+12|=|5|=5,\\\ g(2)&=0,\\\ g(3)&=|f(3)|=|9-24+12|=|-3|=3,\\\ g(4)&=4,\\\ g(5)&=3,\\\ g(6)&=0,\\\ g(7)&=5. \end{aligned}
Esses pontos ajudam a traçar: as alturas aumentam à medida que nos afastamos de x=4.

Passo 7

Com os dados acima, o procedimento prático para desenhar o gráfico na prova:
  1. Marque as raízes (2,0) e (6,0).
  2. Marque o vértice original (4,-4) da parábola f apenas para referência, e marque o ponto (4,4) que é o vértice da parte refletida de g.
  3. Trace para x\le 2 a porção da parábola y=x^{2}-8x+12 (côncava para cima) passando por (0,12) e indo decrescer até (2,0).
  4. Para 2\le x\le 6 trace a parábola invertida y=-x^{2}+8x-12, que atinge máximo 4 em x=4 e volta a 0 em x=6.
  5. Para x\ge 6 continue com a porção de y=x^{2}-8x+12 (côncava para cima) subindo para valores maiores.
  6. Observe que em x=2 e x=6 há mudança de inclinação: g é contínua mas não é diferenciável nesses pontos (há “canto” ou quina).

Passo 8

Resumo de propriedades úteis para memorizar e usar na prova:
  • Zeros de g: (2,0) e (6,0).
  • Valor no centro: g(4)=4.
  • Forma: parabola para cima fora de [2,6]; parábola invertida (reflexo) dentro de [2,6].
  • g é contínua em \mathbb{R}, mas não é diferenciável em x=2 nem em x=6.
    Você agora consegue traçar o gráfico seguindo esses passos: desenhe a parábola original e reflita a parte que está abaixo do eixo x para cima.

Resposta

g(x)=\begin{cases} x^{2}-8x+12, & x\in(-\infty,2]\cup[6,\infty),\\[6pt] -x^{2}+8x-12, & x\in[2,6]. \end{cases}]

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