Onde f(x)\ge 0 (ou seja, fora do intervalo entre as raízes), temos g(x)=f(x)=x^{2}-8x+12.
Onde f(x)<0 (entre x=2 e x=6), temos g(x)=-f(x)=-x^{2}+8x-12.
Isso significa geometricamente: pegamos o gráfico da parábola f e refletimos para cima (em relação ao eixo x) as partes que estavam abaixo do eixo x.]
Passo 5
Escrevemos então a forma peça-a-peça de g\):
\[g(x)=\begin{cases} x^{2}-8x+12, & x\in(-\infty,2]\cup[6,\infty),\\[6pt] -x^{2}+8x-12, & x\in[2,6]. \end{cases}
Observações importantes:
Em x=2\] e \(x=6 ambas as expressões valem 0, então g é contínua nesses pontos.
No intervalo [2,6] a expressão -x^{2}+8x-12 é uma parábola côncava para baixo (coeficiente -1), com vértice no mesmo x=4. Calcule a ordenada desse vértice:
g(4)=|f(4)|=|-4|=4.
Logo o pedaço interno atinge um máximo local em (4,4).
Fora de [2,6] o gráfico é exatamente a mesma parábola côncava para cima de f.]
Passo 6
Calcule alguns pontos para guiar o desenho (mostram a simetria em torno de x=4):
Esses pontos ajudam a traçar: as alturas aumentam à medida que nos afastamos de x=4.
Passo 7
Com os dados acima, o procedimento prático para desenhar o gráfico na prova:
Marque as raízes (2,0) e (6,0).
Marque o vértice original (4,-4) da parábola f apenas para referência, e marque o ponto (4,4) que é o vértice da parte refletida de g.
Trace para x\le 2 a porção da parábola y=x^{2}-8x+12 (côncava para cima) passando por (0,12) e indo decrescer até (2,0).
Para 2\le x\le 6 trace a parábola invertida y=-x^{2}+8x-12, que atinge máximo 4 em x=4 e volta a 0 em x=6.
Para x\ge 6 continue com a porção de y=x^{2}-8x+12 (côncava para cima) subindo para valores maiores.
Observe que em x=2 e x=6 há mudança de inclinação: g é contínua mas não é diferenciável nesses pontos (há “canto” ou quina).
Passo 8
Resumo de propriedades úteis para memorizar e usar na prova:
Zeros de g: (2,0) e (6,0).
Valor no centro: g(4)=4.
Forma: parabola para cima fora de [2,6]; parábola invertida (reflexo) dentro de [2,6].
g é contínua em \mathbb{R}, mas não é diferenciável em x=2 nem em x=6.
Você agora consegue traçar o gráfico seguindo esses passos: desenhe a parábola original e reflita a parte que está abaixo do eixo x para cima.