O conjunto \{(-1,2),(0,1),(3,1)\} gera o \mathbb{R}^{2} ?

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto de vetores \{(-1,2),(0,1),(3,1)\} em \mathbb{R}^2 gera todo \mathbb{R}^2. Para gerar \mathbb{R}^2 basta ter dois vetores linearmente independentes.

Passo 2

Verificamos a independência de (-1,2) e (0,1) pelo determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\det\begin{pmatrix} -1 & 0 \\[4pt] 2 & 1 \end{pmatrix} = (-1)\cdot 1 - 0\cdot 2 = -1 \neq 0
Portanto, esses dois vetores são linearmente independentes.]

Passo 3

Como em \mathbb{R}^2 dois vetores linearmente independentes já formam uma base, eles geram todo \mathbb{R}^2. Logo, qualquer terceira combinação (neste caso (3,1)) permanece no mesmo espaço gerado.

Resposta

Sim, o conjunto \{(-1,2),(0,1),(3,1)\} gera \mathbb{R}^2.

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