Dados os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em \mathbb{R}^{3}, obtenha números a tais que w=\alpha u+\beta v. Quantas soluções admite este problema?
Passo 1
O enunciado pede expressar o vetor \,w=(-3,2,7) como combinação linear de \,u=(1,2,3) e \,v=(3,2,1). O conteúdo é combinação linear em \mathbb{R}^3; precisamos encontrar \alpha e \beta tais que
w=\alpha\,u+\beta\,v.
Passo 2
Igualando coordenadas em cada componente, obtemos o sistema
Como u e v são linearmente independentes, eles formam uma base de um plano em \mathbb{R}^3. Qualquer vetor desse plano tem representação única nessa base, logo a solução \alpha=3, \beta=-2 é a única possível.
Resposta
\alpha=3, \beta=-2.
O problema admite exatamente uma solução.