Dados os vetores u=(1,2,3), v=(3,2,1) e w=(-3,2,7) em \mathbb{R}^{3}, obtenha números a tais que w=\alpha u+\beta v. Quantas soluções admite este problema?

Passo 1

O enunciado pede expressar o vetor \,w=(-3,2,7) como combinação linear de \,u=(1,2,3) e \,v=(3,2,1). O conteúdo é combinação linear em \mathbb{R}^3; precisamos encontrar \alpha e \beta tais que
w=\alpha\,u+\beta\,v.

Passo 2

Igualando coordenadas em cada componente, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + 3\beta = -3,\\\\ 2\alpha + 2\beta = 2,\\\\ 3\alpha + \beta = 7. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação, dividindo ambos os lados por 2, vem
\alpha+\beta=1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=1-\beta.
Substituindo na primeira equação:
(1-\beta)+3\beta=-3 \quad\Longrightarrow\quad 1+2\beta=-3 \quad\Longrightarrow\quad \beta=-2,
e portanto
\alpha=1-(-2)=3.
Conferindo na terceira equação:
3\cdot 3+(-2)=9-2=7,
não há inconsistência.

Passo 4

Como u e v são linearmente independentes, eles formam uma base de um plano em \mathbb{R}^3. Qualquer vetor desse plano tem representação única nessa base, logo a solução \alpha=3, \beta=-2 é a única possível.

Resposta

\alpha=3, \beta=-2.
O problema admite exatamente uma solução.

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