Dados u=(1,2) e v=(-1,2). Mostre que \mathbb{R}^{2}=[u] \oplus[v].

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(1,2) e \,v=(-1,2) em \mathbb{R}^2 e pede para mostrar que
\mathbb{R}^{2} = [u]\oplus [v],
ou seja, que toda reta gerada por u e toda reta gerada por v somam diretamente \mathbb{R}^2. Para isso precisamos verificar duas coisas:
  1. \mathbb{R}^2 = [u] + [v] (eles geram todo \mathbb{R}^2).
  2. [u]\cap [v]=\{0\} (interseção trivial).

Passo 2

Para mostrar que \mathbb{R}^2 = [u]+[v], tomamos um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2 e procuramos a,b\in\mathbb{R} tais que
a\,u + b\,v \;=\;(x,y).
Escrevendo componente a componente, temos o sistema
\begin{cases} a - b = x,\\\\ 2a +2b = y. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo
2a + 2b = y\quad\Longrightarrow\quad a+b = \frac{y}{2}.
Somando com a - b = x
2a = x + \frac{y}{2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{x + \tfrac y2}{2} = \frac{2x + y}{4}.
E então
b = a - x = \frac{2x+y}{4} - x = \frac{y - 2x}{4}.
Como para todo (x,y) existe (a,b) resolução única, concluímos que
\mathbb{R}^2 = \mathrm{span}\{u,v\} = [u]+[v].

Passo 4

Agora mostramos que a interseção é só o zero. Se um vetor está em ambas as retas, existem \alpha,\beta tais que
\alpha\,u = \beta\,v.
Isso é
(\alpha,\;2\alpha) = (-\beta,\;2\beta).
Comparando componentes,
\alpha = -\beta \quad\text{e}\quad 2\alpha = 2\beta \;\Longrightarrow\; \alpha=-\beta\;\text{e}\;\alpha=\beta \;\Longrightarrow\;\alpha=\beta=0.
Logo o único vetor comum é o \,(0,0).

Passo 5

Como \mathbb{R}^2 = [u]+[v] e [u]\cap[v]=\{0\}, pela definição de soma direta temos
\mathbb{R}^2 = [u]\oplus [v].

Resposta

Portanto \mathbb{R}^{2}=[u]\oplus[v].

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