Dados
e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
em
e pede para mostrar que
ou seja, que toda reta gerada por
e toda reta gerada por
somam diretamente
. Para isso precisamos verificar duas coisas:
-
(eles geram todo ). -
(interseção trivial).
Passo 2
Para mostrar que
, tomamos um vetor genérico
e procuramos
tais que
Escrevendo componente a componente, temos o sistema
Passo 3
Resolvendo
Somando com
dá
E então
Como para todo
existe
resolução única, concluímos que
Passo 4
Agora mostramos que a interseção é só o zero. Se um vetor está em ambas as retas, existem
tais que
Isso é
Comparando componentes,
Logo o único vetor comum é o
.
Passo 5
Como
e
, pela definição de soma direta temos
Resposta
Portanto
.