Do conjunto {1,2,3,4,5,6}, Joana sorteia aleatoriamente dois números diferentes e, de forma independente, Laura sorteia aleatoriamente, também, dois números diferentes. Em cada sorteio, todos os pares de números diferentes têm a mesma probabilidade de serem sorteados.
A probabilidade de que elas tenham sorteado exatamente um número em comum é:
A) 2 / 3;
B) 3 / 5;
C) 5 / 9;
E) 8 / 15.
Q) 7 / 12;

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \{1,2,3,4,5,6\}. Joana sorteia, aleatoriamente, dois números diferentes desse conjunto; Laura faz o mesmo, de forma independente. Em cada sorteio, todos os pares distintos têm a mesma probabilidade. A pergunta é: qual é a probabilidade de que os dois pares sorteados tenham exatamente um número em comum?
Informações relevantes:
  • Universo de números: \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Cada pessoa sorteia um par de números distintos (ordem irrelevante).
  • Sorteios são independentes e uniformes entre os pares possíveis.
  • Queremos a probabilidade de a interseção entre os dois pares ter tamanho exatamente 1.

Passo 2

Primeiro precisamos saber quantos pares diferentes existem em \{1,2,3,4,5,6\}. O número de maneiras de escolher 2 elementos dentre 6 sem ordem é dado pela combinação
\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!\,4!}.
Explicando a fórmula: n! (fatorial) é o produto dos inteiros de 1 até n. A razão conta quantas escolhas de 2 elementos diferentes existem, sem considerar ordem e sem repetição. Calculando:
\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{2\cdot1\cdot4!}=\frac{6\cdot5}{2}=15.
Logo, cada pessoa pode sortear 15 pares distintos possíveis.

Passo 3

Como os sorteios são independentes, o número total de resultados igualmente prováveis (par ordenado: par da Joana, par da Laura) é
15\times 15=225.
Esse é o tamanho do espaço amostral se contarmos todos os pares possíveis de resultados.

Passo 4

Para contar os casos favoráveis (interseção de tamanho exatamente 1), é mais fácil condicionar no par que Joana obteve. Fixe o par da Joana — por simetria o cálculo será o mesmo para qualquer par dela. Suponha que Joana tirou dois números quaisquer, por exemplo \{a,b\}.
Queremos contar quantos pares \{x,y\} que Laura pode tirar têm exatamente um elemento em comum com \{a,b\}. Para isso:
  • Laura deve escolher exatamente um dos dois elementos de Joana como elemento comum. Há 2 escolhas para qual elemento será o comum.
  • O outro elemento do par de Laura deve ser diferente dos dois de Joana (para que a interseção seja só um elemento). Além dos dois de Joana restam 6-2=4 números possíveis; então há 4 escolhas para esse segundo elemento.
Portanto, para um par fixo de Joana, o número de pares de Laura que dão interseção exatamente 1 é
2 \times 4 = 8.
Observação sobre contagem: cada par de Laura foi contado uma única vez porque escolhemos explicitamente qual elemento é o comum e qual é o não comum; isso corresponde diretamente a pares distintos sem ordem.

Passo 5

Então, dado o par da Joana, a probabilidade de que Laura tenha exatamente um número em comum é
\frac{8}{15},
pois há 8 pares favoráveis entre os 15 pares possíveis de Laura. Como isso vale para qualquer par da Joana e os sorteios são independentes, essa é a probabilidade desejada para o experimento completo. Podemos também ver via contagem total: favoráveis =15\times8=120 resultados ordenados; total =225; logo
\frac{120}{225}=\frac{8}{15}.

Passo 6

Resumo didático rápido: a ideia é contar quantas escolhas de Laura dão exatamente um elemento em comum com um par fixo da Joana. São 2 escolhas para qual elemento ficará em comum e 4 escolhas para o outro elemento de Laura, total 8 entre os 15 pares possíveis, resultando em \frac{8}{15}. Força aí — é um problema de contagem/combinações clássico; pratique mais alguns iguais para ficar tranquilo na prova!

Resposta

\frac{8}{15}

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