Do conjunto
, Joana sorteia aleatoriamente dois números diferentes e, de forma independente, Laura sorteia aleatoriamente, também, dois números diferentes. Em cada sorteio, todos os pares de números diferentes têm a mesma probabilidade de serem sorteados.
A probabilidade de que elas tenham sorteado exatamente um número em comum é:
A)
;
B)
;
C)
;
E)
.
Q)
;
A probabilidade de que elas tenham sorteado exatamente um número em comum é:
A)
B)
C)
E)
Q)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
. Joana sorteia, aleatoriamente, dois números diferentes desse conjunto; Laura faz o mesmo, de forma independente. Em cada sorteio, todos os pares distintos têm a mesma probabilidade. A pergunta é: qual é a probabilidade de que os dois pares sorteados tenham exatamente um número em comum?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Universo de números:
. - Cada pessoa sorteia um par de números distintos (ordem irrelevante).
- Sorteios são independentes e uniformes entre os pares possíveis.
- Queremos a probabilidade de a interseção entre os dois pares ter tamanho exatamente 1.
Passo 2
Primeiro precisamos saber quantos pares diferentes existem em
. O número de maneiras de escolher
elementos dentre
sem ordem é dado pela combinação
Explicando a fórmula:
(fatorial) é o produto dos inteiros de
até
. A razão conta quantas escolhas de
elementos diferentes existem, sem considerar ordem e sem repetição. Calculando:
Logo, cada pessoa pode sortear
pares distintos possíveis.
Passo 3
Como os sorteios são independentes, o número total de resultados igualmente prováveis (par ordenado: par da Joana, par da Laura) é
Esse é o tamanho do espaço amostral se contarmos todos os pares possíveis de resultados.
Passo 4
Para contar os casos favoráveis (interseção de tamanho exatamente
), é mais fácil condicionar no par que Joana obteve. Fixe o par da Joana — por simetria o cálculo será o mesmo para qualquer par dela. Suponha que Joana tirou dois números quaisquer, por exemplo
.
Queremos contar quantos pares
que Laura pode tirar têm exatamente um elemento em comum com
. Para isso:
- Laura deve escolher exatamente um dos dois elementos de Joana como elemento comum. Há
escolhas para qual elemento será o comum. - O outro elemento do par de Laura deve ser diferente dos dois de Joana (para que a interseção seja só um elemento). Além dos dois de Joana restam
números possíveis; então há escolhas para esse segundo elemento.
Portanto, para um par fixo de Joana, o número de pares de Laura que dão interseção exatamente
é
Observação sobre contagem: cada par de Laura foi contado uma única vez porque escolhemos explicitamente qual elemento é o comum e qual é o não comum; isso corresponde diretamente a pares distintos sem ordem.
Passo 5
Então, dado o par da Joana, a probabilidade de que Laura tenha exatamente um número em comum é
pois há
pares favoráveis entre os
pares possíveis de Laura. Como isso vale para qualquer par da Joana e os sorteios são independentes, essa é a probabilidade desejada para o experimento completo. Podemos também ver via contagem total: favoráveis
resultados ordenados; total
; logo
Passo 6
Resumo didático rápido: a ideia é contar quantas escolhas de Laura dão exatamente um elemento em comum com um par fixo da Joana. São
escolhas para qual elemento ficará em comum e
escolhas para o outro elemento de Laura, total
entre os
pares possíveis, resultando em
. Força aí — é um problema de contagem/combinações clássico; pratique mais alguns iguais para ficar tranquilo na prova!