Fernanda tem uma coleção de N medalhas e quer dividi-las igualmente em um certo número de potes. Quando ela divide as medalhas em 4 potes, sobra 1 medalha. Quando ela divide as medalhas em 5 potes, sobram 2 medalhas. Quando ela divide as medalhas em 6 potes, sobram 3 medalhas. A soma dos algarismos do menor valor possivel de N é:
(A) 6 ;
(B) 8 ;
(C) 10 ;
(D) 12 ;
(E) 14 .
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o menor valor possível de N\) tal que, ao dividir as medalhas de Fernanda em potes, as sobras são as seguintes:
\[\begin{cases} \text{quando divide em }4\text{ potes, sobra }1,\\[4pt] \text{quando divide em }5\text{ potes, sobra }2,\\[4pt] \text{quando divide em }6\text{ potes, sobra }3. \end{cases}
Ou seja, as informações que temos são as congruências:
A tarefa final é calcular a soma dos algarismos do menor (N] que satisfaz essas três condições.]
Passo 2
Vamos entender o que significa cada congruência de um jeito simples. A afirmação N\equiv 1 \pmod{4} quer dizer que existe um inteiro a tal que
N = 4a + 1.
De modo análogo, N\equiv 2 \pmod{5} significa que existe um inteiro b com
N = 5b + 2,
e N\equiv 3 \pmod{6} significa que existe um inteiro c com
N = 6c + 3.
Nossa estratégia será resolver essas congruências duas a duas até obter a solução geral (método do sistema de congruências, também chamado de Teorema Chinês dos Restos quando os módulos são coprimos; aqui usaremos passos elementares).
Passo 3
Primeiro resolvemos as duas primeiras congruências: \,N\equiv 1 \pmod{4} e \,N\equiv 2 \pmod{5}.
Escrevo N em função de um parâmetro:
N = 1 + 4t \quad\text{(para algum inteiro \(t\)).}
A congruência 2k \equiv 4 \pmod{6} pode ser tratada observando o máximo divisor comum \gcd(2,6)=2. Como 2 divide o lado direito 4, existem soluções; dividimos toda a congruência por 2 (isso reduz o módulo também, de 6 para 3):
k \equiv 2 \pmod{3}.
Portanto k = 2 + 3m para algum inteiro m. Substituindo em N = 17 + 20k,
N = 17 + 20(2 + 3m) = 17 + 40 + 60m = 57 + 60m.
Isto significa que todas as soluções da tripla de congruências são os números da forma
N \equiv 57 \pmod{60}.
(Observação: 60 é o mínimo múltiplo comum de 4,5,6.)
Passo 6
O menor valor positivo que satisfaz todas as condições é o representante mais pequeno da classe, obtido com m=0:
N = 57.
Vamos checar rapidamente (sempre bom conferir na prova):