Fernanda tem uma coleção de N medalhas e quer dividi-las igualmente em um certo número de potes. Quando ela divide as medalhas em 4 potes, sobra 1 medalha. Quando ela divide as medalhas em 5 potes, sobram 2 medalhas. Quando ela divide as medalhas em 6 potes, sobram 3 medalhas. A soma dos algarismos do menor valor possivel de N é:
(A) 6 ;
(B) 8 ;
(C) 10 ;
(D) 12 ;
(E) 14 .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o menor valor possível de N\) tal que, ao dividir as medalhas de Fernanda em potes, as sobras são as seguintes: \[\begin{cases} \text{quando divide em }4\text{ potes, sobra }1,\\[4pt] \text{quando divide em }5\text{ potes, sobra }2,\\[4pt] \text{quando divide em }6\text{ potes, sobra }3. \end{cases}
Ou seja, as informações que temos são as congruências:
\begin{cases} N\equiv 1 \pmod{4},\\[4pt] N\equiv 2 \pmod{5},\\[4pt] N\equiv 3 \pmod{6}. \end{cases}
A tarefa final é calcular a soma dos algarismos do menor (N] que satisfaz essas três condições.]

Passo 2

Vamos entender o que significa cada congruência de um jeito simples. A afirmação N\equiv 1 \pmod{4} quer dizer que existe um inteiro a tal que
N = 4a + 1.
De modo análogo, N\equiv 2 \pmod{5} significa que existe um inteiro b com
N = 5b + 2,
e N\equiv 3 \pmod{6} significa que existe um inteiro c com
N = 6c + 3.
Nossa estratégia será resolver essas congruências duas a duas até obter a solução geral (método do sistema de congruências, também chamado de Teorema Chinês dos Restos quando os módulos são coprimos; aqui usaremos passos elementares).

Passo 3

Primeiro resolvemos as duas primeiras congruências: \,N\equiv 1 \pmod{4} e \,N\equiv 2 \pmod{5}.
Escrevo N em função de um parâmetro:
N = 1 + 4t \quad\text{(para algum inteiro \(t\)).}
Substituo na condição módulo 5:
1 + 4t \equiv 2 \pmod{5}.
Isso dá
4t \equiv 1 \pmod{5}.
Agora resolvemos 4t\equiv 1 \pmod{5}. Observando que 4\equiv -1 \pmod{5}, temos
- t \equiv 1 \pmod{5}\quad\Rightarrow\quad t\equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}.
Logo t = 4 + 5k para algum inteiro k. Substituindo de volta em N,
N = 1 + 4(4 + 5k) = 1 + 16 + 20k = 17 + 20k.
Isto significa que todas as soluções que satisfazem as duas primeiras congruências estão dadas por
N \equiv 17 \pmod{20}.
(Observação: 20 é o mínimo múltiplo comum de 4 e 5, então a solução é única modulo 20.)

Passo 4

Agora imponho a terceira condição N\equiv 3 \pmod{6} à solução geral N = 17 + 20k.
Temos:
17 + 20k \equiv 3 \pmod{6}.
Subtraindo 17 dos dois lados:
20k \equiv 3 - 17 \pmod{6}\quad\Rightarrow\quad 20k \equiv -14 \pmod{6}.
Reduzindo -14 módulo 6: -14 \equiv -14 + 12 = -2 \equiv 4 \pmod{6}. Assim
20k \equiv 4 \pmod{6}.
Agora reduzo o coeficiente 20 módulo 6:
20 \equiv 2 \pmod{6},
então a congruência fica
2k \equiv 4 \pmod{6}.

Passo 5

A congruência 2k \equiv 4 \pmod{6} pode ser tratada observando o máximo divisor comum \gcd(2,6)=2. Como 2 divide o lado direito 4, existem soluções; dividimos toda a congruência por 2 (isso reduz o módulo também, de 6 para 3):
k \equiv 2 \pmod{3}.
Portanto k = 2 + 3m para algum inteiro m. Substituindo em N = 17 + 20k,
N = 17 + 20(2 + 3m) = 17 + 40 + 60m = 57 + 60m.
Isto significa que todas as soluções da tripla de congruências são os números da forma
N \equiv 57 \pmod{60}.
(Observação: 60 é o mínimo múltiplo comum de 4,5,6.)

Passo 6

O menor valor positivo que satisfaz todas as condições é o representante mais pequeno da classe, obtido com m=0:
N = 57.
Vamos checar rapidamente (sempre bom conferir na prova):
57 \div 4 = 14\\ \text{resto }1,\qquad 57 \div 5 = 11\\ \text{resto }2,\qquad 57 \div 6 = 9\\ \text{resto }3.
Tudo confere.

Passo 7

A pergunta final pede a soma dos algarismos de N. Para N=57 a soma é
5 + 7 = 12.
Força aí — você já tem a resposta e a técnica (resolver congruências em pares, usar lcm e simplificar por gcd) para usar em questões parecidas.

Resposta

12

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