Cinco velas acesas são dispostas em círculo. De repente, uma rajada de vento sopra e cada vela tem
de probabilidade de apagar.
A probabilidade de que, após a rajada de vento, cada vela ainda esteja acesa ou esteja ao lado de, pelo menos, uma vela acesa é:
(A)
;
(A)
;
(C)
;
(D)
;
(E)
.
A probabilidade de que, após a rajada de vento, cada vela ainda esteja acesa ou esteja ao lado de, pelo menos, uma vela acesa é:
(A)
(A)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado pede e os dados que ele dá. Temos cinco velas dispostas em círculo. Cada vela, após a rajada, apaga com probabilidade
e permanece acesa com probabilidade
. Queremos a probabilidade de que, depois da rajada, cada vela esteja acesa ou esteja ao lado de, pelo menos, uma vela acesa. Dados relevantes:
- Probabilidade de apagar (estado “E”):
. - Probabilidade de ficar acesa (estado “L”):
. - Há independência entre o destino de cada vela.
A pergunta é: qual é a probabilidade do evento “cada vela é L ou tem alguma vizinha L” (i.e., não existe vela apagada cujas duas vizinhas também estejam apagadas).
Passo 2
Interpretação do evento em termos binários e equivalente prático. Representamos cada vela por
(acesa) ou
(apagada). A condição “cada vela é acesa ou está ao lado de pelo menos uma acesa” significa que não existe nenhuma vela
cujo os dois vizinhos sejam
. Em termos de sequência circular, isso é equivalente a proibir a ocorrência de três
consecutivos (ou seja, o padrão
não pode ocorrer em posição alguma, contando a volta circular). Vou contar todas as configurações possíveis que não tenham esse padrão e somar suas probabilidades, usando independência (probabilidade do conjunto = produto das probabilidades dos estados).
Passo 3
Estratégia escolhida: dividir por número de velas acesas
(de
a
), contar quantas configurações com exatamente
velas acesas satisfazem a condição, e somar as probabilidades correspondentes. Fórmulas que vamos usar:
- Número de configurações com exatamente
velas acesas (sem restrição) é . - Probabilidade de uma configuração com exatamente
acesas e apagadas é , por independência.
Então a contribuição total de todas as configurações válidas comacesas é (número de configurações válidas) .
Agora vamos analisar caso a caso.
Passo 4
Caso
(todas acesas). Há exatamente
configuração:
. Não viola nada, é válida.
Probabilidade dessa configuração:
Probabilidade dessa configuração:
Passo 5
Caso
(quatro acesas, uma apagada). Qualquer única
tem vizinhas que são duas
(porque só há uma
), então todas as
configurações são válidas.
Probabilidade total desse caso:
Probabilidade total desse caso:
Passo 6
Caso
(três acesas e duas apagadas). Aqui há
configurações no total. Com apenas duas
, não é possível ter três
consecutivos, então todas as 10 são válidas.
Probabilidade total desse caso:
Probabilidade total desse caso:
Passo 7
Caso
(duas acesas e três apagadas). Agora podem ocorrer três
consecutivos — isso tornaria a configuração inválida. Total de configurações com três
e duas
é
. Quantas dessas têm as três
consecutivas na roda de 5?
- Escolhendo o bloco de três consecutivas há 5 posições possíveis (pense em um ponto de partida na roda): então existem 5 configurações com exatamente três
consecutivos. Essas 5 são inválidas.
Logo, configurações válidas com= .
Probabilidade total desse caso:
(Exemplo concreto: se as
são nos lugares
isso é inválido; se as
estão distribuídas como
então é válido.)
Passo 8
Caso
(uma acesa e quatro apagadas). Com uma única
, os quatro
ocupam as outras posições formando um bloco circular de quatro
, e haverá claramente velas
com vizinhos ambos
(por exemplo, o
diametralmente oposto à
terá dois vizinhos
). Portanto todas essas
configurações são inválidas.
Contribuição de probabilidade: .
Contribuição de probabilidade:
Passo 9
Caso
(todas apagadas). Obviamente inválido (cada vela tem vizinhas
). Contribuição:
.
Passo 10
Somamos as contribuições válidas dos casos
:
Portanto a probabilidade pedida é
. Você pode respirar aliviado — deu para organizar direitinho por casos e usar a independência e a contagem combinatória.
Resposta
(D)