Cinco velas acesas são dispostas em círculo. De repente, uma rajada de vento sopra e cada vela tem 2 / 3 de probabilidade de apagar.
A probabilidade de que, após a rajada de vento, cada vela ainda esteja acesa ou esteja ao lado de, pelo menos, uma vela acesa é:
(A) 17 / 81;
(A) 32 / 81;
(C) 64 / 81;
(D) 91 / 243;
(E) 152 / 243.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado pede e os dados que ele dá. Temos cinco velas dispostas em círculo. Cada vela, após a rajada, apaga com probabilidade \tfrac{2}{3} e permanece acesa com probabilidade \tfrac{1}{3}. Queremos a probabilidade de que, depois da rajada, cada vela esteja acesa ou esteja ao lado de, pelo menos, uma vela acesa. Dados relevantes:
  • Probabilidade de apagar (estado “E”): q=\tfrac{2}{3}.
  • Probabilidade de ficar acesa (estado “L”): r=\tfrac{1}{3}.
  • Há independência entre o destino de cada vela.
    A pergunta é: qual é a probabilidade do evento “cada vela é L ou tem alguma vizinha L” (i.e., não existe vela apagada cujas duas vizinhas também estejam apagadas).

Passo 2

Interpretação do evento em termos binários e equivalente prático. Representamos cada vela por L (acesa) ou E (apagada). A condição “cada vela é acesa ou está ao lado de pelo menos uma acesa” significa que não existe nenhuma vela E cujo os dois vizinhos sejam E. Em termos de sequência circular, isso é equivalente a proibir a ocorrência de três E consecutivos (ou seja, o padrão E E E não pode ocorrer em posição alguma, contando a volta circular). Vou contar todas as configurações possíveis que não tenham esse padrão e somar suas probabilidades, usando independência (probabilidade do conjunto = produto das probabilidades dos estados).

Passo 3

Estratégia escolhida: dividir por número de velas acesas m (de 0 a 5), contar quantas configurações com exatamente m velas acesas satisfazem a condição, e somar as probabilidades correspondentes. Fórmulas que vamos usar:
  • Número de configurações com exatamente m velas acesas (sem restrição) é \binom{5}{m}.
  • Probabilidade de uma configuração com exatamente m acesas e 5-m apagadas é r^{m} q^{5-m}, por independência.
    Então a contribuição total de todas as configurações válidas com m acesas é (número de configurações válidas) \times r^{m} q^{5-m}.
    Agora vamos analisar caso a caso.

Passo 4

Caso m=5 (todas acesas). Há exatamente 1 configuração: LLLLL. Não viola nada, é válida.
Probabilidade dessa configuração:
r^{5}=\left(\tfrac{1}{3}\right)^{5}=\tfrac{1}{243}.

Passo 5

Caso m=4 (quatro acesas, uma apagada). Qualquer única E tem vizinhas que são duas L (porque só há uma E), então todas as \binom{5}{1}=5 configurações são válidas.
Probabilidade total desse caso:
5\cdot r^{4} q = 5\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^{4}\left(\tfrac{2}{3}\right) =5\cdot\tfrac{1}{81}\cdot\tfrac{2}{3}= \tfrac{10}{243}.

Passo 6

Caso m=3 (três acesas e duas apagadas). Aqui há \binom{5}{2}=10 configurações no total. Com apenas duas E, não é possível ter três E consecutivos, então todas as 10 são válidas.
Probabilidade total desse caso:
10\cdot r^{3} q^{2} = 10\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2} =10\cdot\tfrac{1}{27}\cdot\tfrac{4}{9}= \tfrac{40}{243}.

Passo 7

Caso m=2 (duas acesas e três apagadas). Agora podem ocorrer três E consecutivos — isso tornaria a configuração inválida. Total de configurações com três E e duas L é \binom{5}{3}=10. Quantas dessas têm as três E consecutivas na roda de 5?
  • Escolhendo o bloco de três consecutivas há 5 posições possíveis (pense em um ponto de partida na roda): então existem 5 configurações com exatamente três E consecutivos. Essas 5 são inválidas.
    Logo, configurações válidas com m=2 = 10-5=5.
    Probabilidade total desse caso:
5\cdot r^{2} q^{3} = 5\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3} =5\cdot\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{8}{27}= \tfrac{40}{243}.
(Exemplo concreto: se as E são nos lugares 1,2,3 isso é inválido; se as E estão distribuídas como E,L,E,L,E então é válido.)

Passo 8

Caso m=1 (uma acesa e quatro apagadas). Com uma única L, os quatro E ocupam as outras posições formando um bloco circular de quatro E, e haverá claramente velas E com vizinhos ambos E (por exemplo, o E diametralmente oposto à L terá dois vizinhos E). Portanto todas essas \binom{5}{1}=5 configurações são inválidas.
Contribuição de probabilidade: 0.

Passo 9

Caso m=0 (todas apagadas). Obviamente inválido (cada vela tem vizinhas E). Contribuição: 0.

Passo 10

Somamos as contribuições válidas dos casos m=5,4,3,2:
\tfrac{1}{243}+\tfrac{10}{243}+\tfrac{40}{243}+\tfrac{40}{243} = \tfrac{1+10+40+40}{243}=\tfrac{91}{243}.
Portanto a probabilidade pedida é \tfrac{91}{243}. Você pode respirar aliviado — deu para organizar direitinho por casos e usar a independência e a contagem combinatória.

Resposta

(D) \displaystyle \frac{91}{243}

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