Conjunto de Mandelbrot é um fractal definido como o conjunto de pontos c no plano complexo para o qual a sequência
zn+1=zn^2+c
não tende ao infinito.
Para c=-0,5-0,5i e z0=0, calcule os primeiros 5 valores de zn.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Conjunto de Mandelbrot, que é um tipo de fractal no plano complexo. A ideia aqui é calcular os primeiros 5 valores da sequência definida por zn+1 = zn^2 + c , onde c = -0,5 - 0,5i e começamos com z0 = 0 . Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com números complexos e realizar operações como adição e multiplicação deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo tem a forma a + bi , onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Nosso ponto de partida é z0 = 0 , que pode ser escrito como 0 + 0i .

Passo 3

Agora, vamos calcular z1 usando a fórmula zn+1 = zn^2 + c .
z1 = z0^2 + c = (0 + 0i)^2 + (-0,5 - 0,5i)
Calculando z0^2 :
(0 + 0i)^2 = 0 + 0i
Então:
z1 = 0 + (-0,5 - 0,5i) = -0,5 - 0,5i

Passo 4

Agora, vamos calcular z2 :
z2 = z1^2 + c = (-0,5 - 0,5i)^2 + (-0,5 - 0,5i)
Primeiro, calculamos z1^2 :
(-0,5 - 0,5i)^2 = (-0,5)^2 + 2*(-0,5)*(-0,5i) + (-0,5i)^2 = 0,25 + 0,5i + (-0,25) = 0 + 0,5i
Então:
z2 = 0 + 0,5i + (-0,5 - 0,5i) = -0,5 + 0i = -0,5

Passo 5

Vamos calcular z3 :
z3 = z2^2 + c = (-0,5)^2 + (-0,5 - 0,5i)
Calculando z2^2 :
(-0,5)^2 = 0,25
Então:
z3 = 0,25 + (-0,5 - 0,5i) = -0,25 - 0,5i

Passo 6

Agora, calculamos z4 :
z4 = z3^2 + c = (-0,25 - 0,5i)^2 + (-0,5 - 0,5i)
Primeiro, calculamos z3^2 :
(-0,25 - 0,5i)^2 = (-0,25)^2 + 2*(-0,25)*(-0,5i) + (-0,5i)^2 = 0,0625 + 0,25i + (-0,25) = -0,1875 + 0,25i
Então:
z4 = -0,1875 + 0,25i + (-0,5 - 0,5i) = -0,6875 - 0,25i

Passo 7

Por fim, vamos calcular z5 :
z5 = z4^2 + c = (-0,6875 - 0,25i)^2 + (-0,5 - 0,5i)
Calculando z4^2 :
(-0,6875 - 0,25i)^2 = (-0,6875)^2 + 2*(-0,6875)*(-0,25i) + (-0,25i)^2 = 0,47265625 + 0,34375i + (-0,0625) = 0,41015625 + 0,34375i
Então:
z5 = 0,41015625 + 0,34375i + (-0,5 - 0,5i) = -0,08984375 - 0,15625i

Resposta

Os primeiros 5 valores de zn são:
z0 &= 0 + 0i z1 &= -0,5 - 0,5i z2 &= -0,5 z3 &= -0,25 - 0,5i z4 &= -0,6875 - 0,25i z5 &= -0,08984375 - 0,15625i

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