Conjunto de Mandelbrot é um fractal definido como o conjunto de pontos c no plano complexo para o qual a sequência
zn+1=zn^2+c
não tende ao infinito.
Calcule c^2, onde c=-0,5-0,5i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o Conjunto de Mandelbrot, que é um tipo de fractal. Mas, no fundo, o que a gente precisa fazer aqui é calcular o quadrado de um número complexo específico: c = -0,5 - 0,5i . Então, vamos precisar saber como calcular o quadrado de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o quadrado de um número complexo. Se tivermos um número complexo c = a + bi , onde a é a parte real e b é a parte imaginária, o quadrado desse número é dado por:
c^2 = (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi
Isso acontece porque i^2 = -1 , então quando expandimos (a + bi)(a + bi) , os termos se combinam dessa maneira.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para o nosso número complexo c = -0,5 - 0,5i . Aqui, a = -0,5 e b = -0,5 . Vamos substituir esses valores na fórmula:
c^2 = (-0,5)^2 - (-0,5)^2 + 2 times (-0,5) times (-0,5)i

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. (-0,5)^2 = 0,25
  2. -(-0,5)^2 = -0,25
  3. 2 times (-0,5) times (-0,5) = 0,5
Agora, juntando tudo:
c^2 = 0,25 - 0,25 + 0,5i

Resposta

Portanto, c^2 = 0,5i .

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