Conjunto de Mandelbrot é um fractal definido como o conjunto de pontos c no plano complexo para o qual a sequência
zn+1=zn^2+c
não tende ao infinito.
Determine a forma polar do número complexo c=-0,5-0,5i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a forma polar do número complexo c = -0,5 - 0,5i . Para isso, vamos usar os conceitos de módulo e argumento de um número complexo. Ou seja, precisamos calcular o tamanho de c e o ângulo que ele forma com o eixo real no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo de c . O módulo de um número complexo c = x + iy é dado pela fórmula:
|c| = raizx^2 + y^2
No nosso caso, x = -0,5 e y = -0,5 . Substituindo esses valores na fórmula:
|c| = raiz(-0,5)^2 + (-0,5)^2 = raiz0,25 + 0,25 = raiz0,5 = raiz22
Então, o módulo de c é raiz22 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o argumento de c , que é o ângulo theta que o número complexo forma com o eixo real. A fórmula para o argumento é:
theta = arctan(yx)
Como x e y são ambos negativos ( -0,5 nesse caso), o número complexo está no terceiro quadrante do plano complexo. Nessa situação, temos que somar pi (ou 180^circ ) ao resultado da tangente para obter o ângulo correto. Vamos calcular:
theta = pi + arctan(0,50,5) = pi + arctan(1) = pi + pi4 = 5pi4
Então, o argumento de c é 5pi4 .

Resposta

A forma polar do número complexo c = -0,5 - 0,5i é:
c = raiz22 ( cos( 5pi4 ) + i sin( 5pi4 ) )

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