O conjunto \mathbb{Q}^{3}=\{(x, y, z) ; x, y, z \in \mathbb{Q}\} é enumerável? Justifique.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
Pede-se responder à pergunta: a família \mathbb{Q}^{3}=\{(x,y,z);\;x,y,z\in\mathbb{Q}\} é enumerável? (Isto é, existe uma enumeração/lista que contém todos os elementos de \mathbb{Q}^{3} — em termos formais: é um conjunto finito ou com mesma cardinalidade que \mathbb{N}?)
Informação dada: a definição de \mathbb{Q}^{3} (triplas de números racionais).
O objetivo será justificar rigorosamente se \mathbb{Q}^{3} é enumerável e mostrar como construir (ou justificar a existência de) uma enumeração. Não se pede uma enumeração explícita completa, mas uma construção que prove que existe uma bijeção ou pelo menos uma injeção/surjeção adequada com \mathbb{N}.
Passo 2
Definição e estratégia geral (sem resolver ainda).
Definição prática de “enumerável” que usaremos: um conjunto S é enumerável (contável) se existe uma aplicação bijetora entre S e \mathbb{N}, ou equivalentemente se existe uma enumeração s_0,s_1,s_2,\dots que lista todos os elementos de S (cada elemento aparece pelo menos uma vez).
Estratégia escolhida (método): mostrar que \mathbb{Q} é enumerável e depois usar que produto finito de conjuntos enumeráveis é enumerável. Vou construir passos bem concretos: (i) mostrar \mathbb{Z} é enumerável; (ii) mostrar \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável (função de Cantor ou enumeração por somas); (iii) deduzir que \mathbb{Z}\times\mathbb{N} é enumerável; (iv) usar que \mathbb{Q} é imagem de \mathbb{Z}\times\mathbb{N} e, portanto, enumerável; (v) concluir que \mathbb{Q}^3 é enumerável usando que produto finito de enumeráveis é enumerável (construindo uma enumeração explícita por índices).
Passo 3
Mostrar que [\mathbb{Z}) é enumerável (construção explícita).
Explicação do porquê: precisamos de uma bijeção \varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}. Uma bijeção clássica e fácil de lembrar é a que intercala não-negativos e negativos mantendo tudo em \mathbb{N}. Defina
Aqui cada valor em \mathbb{Z}\] dá um natural distinto: por exemplo \(\varphi(1)=2,\\ \varphi(2)=4,\\ \varphi(-1)=1,\\ \varphi(-2)=3. A função é bijetora entre \mathbb{Z} e \mathbb{N} (injetiva e sobrejetiva), então \mathbb{Z} é enumerável.
Breve interpretação pedagógica: isso mostra que dá para listar todos os inteiros na ordem 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3,\dots, cada um com um índice natural.]
Passo 4
Mostrar que \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável (a enumeração por somas / função de Cantor).
Existem várias maneiras; uma bem didática é enumerar pares (i,j) por camadas de soma s=i+j. Para s=0 aparece (0,0); para s=1 aparecem (0,1),(1,0); para s=2 aparecem (0,2),(1,1),(2,0); e assim por diante. Isso lista todos os pares (i,j) numa sequência única — portanto \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável.
Se preferir uma fórmula fechada, use a função de Cantor que dá uma bijeção \pi:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}:
\pi(a,b)=\frac{(a+b)(a+b+1)}{2}+b.
Explicação rápida da fórmula: ela indexa a diagonal com soma a+b e dentro de cada diagonal enumera por b. Essa \pi é bijetora; portanto \mathbb{N}\times\mathbb{N} tem a mesma cardinalidade de \mathbb{N}.
Passo 5
Deduzir que \mathbb{Z}\times\mathbb{N} é enumerável e que \mathbb{Q} é enumerável.
Como \mathbb{Z} é enumerável e \mathbb{N} é enumerável, então \mathbb{Z}\times\mathbb{N} é enumerável porque é bijetável a \mathbb{N}\times\mathbb{N} (compose a bijeção \varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{N} do Passo 3 com uma bijeção \mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N} do Passo 4).
Agora note que toda fração racional pode ser escrita como \dfrac{p}{q} com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{N}_{>0}. Assim há uma aplicação natural
que é sobrejetiva (cada racional aparece como imagem de alguma dupla). Como \mathbb{Z}\times\mathbb{N}_{>0} é enumerável, sua imagem \mathbb{Q} também é enumerável (imagem de conjunto enumerável por função sobrejetiva é enumerável, pois ou se usa o fato que enumerável = imagem de \mathbb{N} por uma função, ou se constrói uma enumeração eliminando repetições). Portanto \mathbb{Q} é enumerável.
Comentário pedagógico: não é necessário exigir que cada racional apareça numa única forma reduzida; mesmo listando representações repetidas (ex.: 1/2 e 2/4) ainda obtemos uma lista que cobre todos os racionais; basta então eliminar repetições ao ler a lista para obter uma enumeração sem repetições.
Passo 6
Mostrar que \mathbb{Q}^3 é enumerável (produto finito de enumeráveis).
Já temos uma enumeração de \mathbb{Q}: existe uma função bijetora (ou pelo menos sobrejetora) f:\mathbb{N}\to\mathbb{Q}. Usando essa enumeração, qualquer tripla (x,y,z)\in\mathbb{Q}^3 corresponde a um triplo de índices (i,j,k)\in\mathbb{N}^3 tais que x=f(i),\\ y=f(j),\\ z=f(k).
Portanto \mathbb{Q}^3 é imagem de \mathbb{N}^3 pela aplicação
Como F é sobrejetora e \mathbb{N}^3 é enumerável (mostramos que \mathbb{N}\times\mathbb{N} é enumerável; então \mathbb{N}^3\cong(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\times\mathbb{N} também é enumerável — por exemplo usando a função de Cantor duas vezes:
\Pi_3(i,j,k)=\pi(\pi(i,j),k),
onde \pi é a função de Cantor do Passo 4), segue que \mathbb{N}^3 é enumerável.
Imagem sobrejetiva de conjunto enumerável é enumerável; logo \mathbb{Q}^3 é enumerável.
Alternativa construtiva (se quiser uma enumeração prática): enumere \mathbb{Q}=\{q_0,q_1,q_2,\dots\}. Enumere \mathbb{N}^3 por alguma lista t_0,t_1,t_2,\dots (por exemplo por soma das coordenadas ou pela \Pi_3 acima). Depois a enumeração de \mathbb{Q}^3 é simplesmente (q_{i_0},q_{j_0},q_{k_0}), (q_{i_1},q_{j_1},q_{k_1}),\dots onde t_n=(i_n,j_n,k_n). Lendo essa sequência e ignorando repetições (se quiser uma bijeção estrita), obtém-se uma bijeção \mathbb{N}\to\mathbb{Q}^3.
Passo 7
Observações finais e conclusão intuitiva.
Intuitivamente: \mathbb{Q} já é “lista-possível” (pense numa tabela de pares e leia em diagonais). Com três coordenadas a ideia é a mesma: basta listar todas as triplas numa ordem que percorra camadas finitas (por exemplo por soma das coordenadas dos índices) — cada camada tem finitamente muitas triplas, então ao percorrer camadas em ordem crescente se lista todas as triplas.
Assim, \mathbb{Q}^3 não é “maior” que \mathbb{N} em cardinalidade; é contável infinito (enumerável).
Resposta
Sim. \mathbb{Q}^{3} é enumerável (contavelmente infinito).