Dê um exemplo de uma coleção de enumerável de conjuntos finitos cuja união não é finita.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de uma coleção enumerável (contável) de conjuntos finitos cuja união não é finita.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- Precisa ser uma coleção enumerável de conjuntos (ou seja, indexada por
ou em bijeção com ). - Cada conjunto da coleção deve ser finito.
- A união de todos esses conjuntos deve ser um conjunto que não seja finito (ou seja, infinito).
Passo 2
Definição (de modo simples e direto): dizer que uma coleção é enumerável significa que os conjuntos da coleção podem ser catalogados por números naturais; isto é, existe uma sequência
que lista todos os conjuntos da coleção. Em notação, uma coleção enumerável pode ser escrita como
.
Definição (de conjunto finito): um conjunto é finito quando tem um número finito de elementos — por exemplo, um conjunto com exatamente um elemento (um singleton) é finito. Aqui não é preciso usar a definição formal por bijeção; basta lembrar que conjuntos com
elementos são finitos.
Passo 3
Vou dar o exemplo mais simples e direto: para cada
defina
Cada
é finito porque contém exatamente um elemento.
A coleção
é enumerável porque é indexada por
(cada conjunto tem um índice natural
). Isso atende ao requisito de “coleção enumerável”.
Passo 4
Agora calculemos a união desses conjuntos:
Um elemento
pertence a essa união se, e somente se, existe algum
tal que
. Mas, por construção,
implica
. Logo a união é exatamente o conjunto de todos os naturais:
Por fim, mostramos que a união não é finita:
é infinito. Um argumento simples é por contradição: se
fosse finito haveria um maior elemento
em
, mas então
seria um natural maior — contradição. Portanto
não é finito, e assim
não é finita.
Resposta
A coleção
com
para cada
; sua união é
, que não é finita.