Dê um exemplo de uma coleção de enumerável de conjuntos finitos cuja união não é finita.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de uma coleção enumerável (contável) de conjuntos finitos cuja união não é finita.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • Precisa ser uma coleção enumerável de conjuntos (ou seja, indexada por \mathbb{N} ou em bijeção com \mathbb{N}).
  • Cada conjunto da coleção deve ser finito.
  • A união de todos esses conjuntos deve ser um conjunto que não seja finito (ou seja, infinito).

Passo 2

Definição (de modo simples e direto): dizer que uma coleção é enumerável significa que os conjuntos da coleção podem ser catalogados por números naturais; isto é, existe uma sequência (A_1,A_2,A_3,\dots) que lista todos os conjuntos da coleção. Em notação, uma coleção enumerável pode ser escrita como \{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}.
Definição (de conjunto finito): um conjunto é finito quando tem um número finito de elementos — por exemplo, um conjunto com exatamente um elemento (um singleton) é finito. Aqui não é preciso usar a definição formal por bijeção; basta lembrar que conjuntos com 0,1,2,\dots elementos são finitos.

Passo 3

Vou dar o exemplo mais simples e direto: para cada n\in\mathbb{N} defina
A_n=\{n\}.
Cada A_n é finito porque contém exatamente um elemento.
A coleção \{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} é enumerável porque é indexada por \mathbb{N} (cada conjunto tem um índice natural n). Isso atende ao requisito de “coleção enumerável”.

Passo 4

Agora calculemos a união desses conjuntos:
\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n.
Um elemento x pertence a essa união se, e somente se, existe algum n\in\mathbb{N} tal que x\in A_n. Mas, por construção, x\in A_n implica x=n. Logo a união é exatamente o conjunto de todos os naturais:
\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n = \mathbb{N}.
Por fim, mostramos que a união não é finita: \mathbb{N} é infinito. Um argumento simples é por contradição: se \mathbb{N} fosse finito haveria um maior elemento m em \mathbb{N}, mas então m+1 seria um natural maior — contradição. Portanto \mathbb{N} não é finito, e assim \bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n não é finita.

Resposta

A coleção \{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} com A_n=\{n\} para cada n\in\mathbb{N}; sua união é \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n=\mathbb{N}, que não é finita.

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