Usando indução, prove que, para todo n \in \mathbb{N} :
c) 2^{n} \geq 1+n

Passo 1

O que o enunciado pede: provar, usando indução, que para todo n \in \mathbb{N} vale a desigualdade
2^{n} \geq 1+n.
Informações dadas (explicitadas): a propriedade a provar é a desigualdade acima para cada n natural. Vou assumir a convenção habitual \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} (se preferires \mathbb{N} começando em 1 a prova é idêntica, apenas muda o caso base).

Passo 2

O que é a prova por indução (uma mini-aula): a indução matemática funciona em duas etapas principais.
  • Caso base: mostrar que a propriedade é verdadeira para o primeiro valor (aqui n=0).
  • Passo indutivo: assumir que a propriedade é verdadeira para um inteiro arbitrário k (esta é a hipótese de indução) e, a partir daí, provar que ela vale para k+1.
    Se essas duas etapas são feitas corretamente, concluímos que a propriedade vale para todo n natural. Uma observação técnica usada com frequência: ao multiplicar uma desigualdade por um número positivo, a desigualdade se mantém (por exemplo, se a\ge b e c>0 então ac\ge bc).

Passo 3

Caso base: verificar a desigualdade para n=0. Calcular os dois lados:
2^{0} = 1
e
1+0 = 1.
Como 1 \ge 1 é verdadeiro, o caso base n=0 está confirmado.

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que para algum k\in\mathbb{N} a desigualdade seja verdadeira, isto é, suponha que
2^{k} \ge 1+k.
Isto é a hipótese que vamos usar para provar o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo: a partir da hipótese 2^{k} \ge 1+k multiplicamos ambos os lados por 2 (como 2>0, a desigualdade se preserva). Obtemos:
2\cdot 2^{k} \ge 2(1+k).
Como 2\cdot 2^{k}=2^{k+1} e 2(1+k)=2+2k, isto dá
2^{k+1} \ge 2+2k.
Agora comparamos 2+2k com 2+k (que é exatamente 1+(k+1)). Note que
2+2k - (2+k) = k \ge 0,
pois k é natural. Assim 2+2k \ge 2+k. Combinando as duas desigualdades anteriores obtemos
2^{k+1} \ge 2+2k \ge 2+k,
portanto
2^{k+1} \ge 2+k = 1+(k+1).
Isso demonstra que, assumindo a hipótese para k, a propriedade vale para k+1.

Passo 6

Conclusão do método: como o caso base foi verificado e o passo indutivo foi demonstrado, pela princípio da indução matemática a desigualdade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

2^{n} \geq 1+n para todo n\in\mathbb{N}.

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