Usando indução, prove que, para todo
:
c)
c)
Passo 1
O que o enunciado pede: provar, usando indução, que para todo
vale a desigualdade
Informações dadas (explicitadas): a propriedade a provar é a desigualdade acima para cada
natural. Vou assumir a convenção habitual
(se preferires
começando em
a prova é idêntica, apenas muda o caso base).
Passo 2
O que é a prova por indução (uma mini-aula): a indução matemática funciona em duas etapas principais.
- Caso base: mostrar que a propriedade é verdadeira para o primeiro valor (aqui
). - Passo indutivo: assumir que a propriedade é verdadeira para um inteiro arbitrário
(esta é a hipótese de indução) e, a partir daí, provar que ela vale para .
Se essas duas etapas são feitas corretamente, concluímos que a propriedade vale para todonatural. Uma observação técnica usada com frequência: ao multiplicar uma desigualdade por um número positivo, a desigualdade se mantém (por exemplo, se e então ).
Passo 3
Caso base: verificar a desigualdade para
. Calcular os dois lados:
e
Como
é verdadeiro, o caso base
está confirmado.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que para algum
a desigualdade seja verdadeira, isto é, suponha que
Isto é a hipótese que vamos usar para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo: a partir da hipótese
multiplicamos ambos os lados por
(como
, a desigualdade se preserva). Obtemos:
Como
e
, isto dá
Agora comparamos
com
(que é exatamente
). Note que
pois
é natural. Assim
. Combinando as duas desigualdades anteriores obtemos
portanto
Isso demonstra que, assumindo a hipótese para
, a propriedade vale para
.
Passo 6
Conclusão do método: como o caso base foi verificado e o passo indutivo foi demonstrado, pela princípio da indução matemática a desigualdade vale para todo
.