De um conjunto de medidas de uma grandeza, a média e o desvio-padrão são, respectivamente, 16 e 2 . Que frações percentuais de leitura são esperadas nos seguintes intervalos?
a) (14,18)

Passo 1

Dados do enunciado: a média é \mu=16 e o desvio-padrão é \sigma=2.
Pergunta: qual fração percentual das leituras é esperada no intervalo (14,18)?

Passo 2

Observar o intervalo em relação à média e ao desvio-padrão. Calculo dos desvios padrão para as extremidades:
\frac{14-\mu}{\sigma}=\frac{14-16}{2}=-1,\qquad \frac{18-\mu}{\sigma}=\frac{18-16}{2}=1.
Ou seja, (14,18) corresponde a \mu\pm 1\sigma (um desvio-padrão para cada lado).

Passo 3

Escolha do método: sem informação adicional sobre a distribuição, um resultado garantido como cota inferior (por exemplo, de Chebyshev) é inútil para k=1 (não fornece limite prático). O procedimento padrão e mais informativo, quando se fala em “leituras esperadas”, é assumir que as medidas seguem aproximadamente uma distribuição normal e usar a distribuição normal padrão. Vou então usar a distribuição normal para estimar a fração dentro de \mu\pm 1\sigma. (Se a sua prova exige outro método, me avisa, mas na maioria dos exercícios estatísticos este é o caminho.)

Passo 4

Normalização (padronização): para uma variável aleatória X com média \mu e desvio \sigma definimos a variável normal padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Queremos P(14<X<18), que vira
P\!\left(\frac{14-\mu}{\sigma}<Z<\frac{18-\mu}{\sigma}\right)=P(-1<Z<1).

Passo 5

Usando a simetria da normal padrão e a função de distribuição acumulada \Phi (onde \Phi(z)=P(Z\le z)), temos
P(-1<Z<1)=\Phi(1)-\Phi(-1)=2\Phi(1)-1.
Do quadro da normal padrão ou de uma calculadora sabemos \Phi(1)\approx 0,8413447. Então
P(-1<Z<1)=2\cdot 0,8413447-1=0,6826894\approx 0,6827.
Convertendo para porcentagem: 0,6827 corresponde a aproximadamente 68,27\%.

Passo 6

Interpretação e dica prática: isso coincide com a “regra empírica” (empirical rule) que diz que cerca de 68\% das observações de uma distribuição aproximadamente normal ficam dentro de um desvio-padrão da média. Na prova, se você precisar de uma resposta rápida sem tabela, pode usar 68\% como aproximação.

Resposta

a) 68,27\%

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