De um conjunto de medidas de uma grandeza, a média e o desvio-padrão são, respectivamente, 16 e 2 . Que frações percentuais de leitura são esperadas nos seguintes intervalos?
a)
a)
Passo 1
Dados do enunciado: a média é
e o desvio-padrão é
.
Pergunta: qual fração percentual das leituras é esperada no intervalo ?
Pergunta: qual fração percentual das leituras é esperada no intervalo
Passo 2
Observar o intervalo em relação à média e ao desvio-padrão. Calculo dos desvios padrão para as extremidades:
Ou seja,
corresponde a
(um desvio-padrão para cada lado).
Passo 3
Escolha do método: sem informação adicional sobre a distribuição, um resultado garantido como cota inferior (por exemplo, de Chebyshev) é inútil para
(não fornece limite prático). O procedimento padrão e mais informativo, quando se fala em “leituras esperadas”, é assumir que as medidas seguem aproximadamente uma distribuição normal e usar a distribuição normal padrão. Vou então usar a distribuição normal para estimar a fração dentro de
. (Se a sua prova exige outro método, me avisa, mas na maioria dos exercícios estatísticos este é o caminho.)
Passo 4
Normalização (padronização): para uma variável aleatória
com média
e desvio
definimos a variável normal padrão
Queremos
, que vira
Passo 5
Usando a simetria da normal padrão e a função de distribuição acumulada
(onde
), temos
Do quadro da normal padrão ou de uma calculadora sabemos
. Então
Convertendo para porcentagem:
corresponde a aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação e dica prática: isso coincide com a “regra empírica” (empirical rule) que diz que cerca de
das observações de uma distribuição aproximadamente normal ficam dentro de um desvio-padrão da média. Na prova, se você precisar de uma resposta rápida sem tabela, pode usar
como aproximação.
Resposta
a)