A posição de um elétron de um elétron que se move ao longo do eixo x é dada por x=8 t e^{-t} metros, onde t está em segundos. A que distância está o elétron da origem quando para momentaneamente?
Passo 1
O enunciado dá a posição do elétron ao longo do eixo x como função do tempo:
x(t)=8\,t\,e^{-t}\\ \text{metros},
onde t está em segundos. A pergunta é: “A que distância está o elétron da origem quando para momentaneamente?”\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Função posição: } x(t)=8\,t\,e^{-t}.\\\ &\text{Unidade de }x\text{: metros, unidade de }t\text{: segundos.}\\\ &\text{Precisamos encontrar a posição }x\text{ no instante em que a velocidade é zero.} \end{aligned}
Passo 2
Conceito importante: o elétron “para momentaneamente” quando sua velocidade é zero. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Para calcular essa derivada vamos usar duas regras básicas:
Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, então
\frac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Derivada da exponencial: se u(t) é uma função, então
\frac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)e^{u(t)}.
No nosso caso a parte exponencial é e^{-t}, cuja derivada é -e^{-t} porque o expoente -t tem derivada -1.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade passo a passo. Começamos de
x(t)=8\,t\,e^{-t}.
Como 8 é constante, podemos escrevê-la fora da derivada:
Se quiser um valor numérico aproximado, usando e\approx 2,71828,
\frac{8}{e}\approx 2,943\\ \text{m}.
Passo 6
Breve interpretação física (para fixar a ideia): podemos checar o sinal da aceleração em t=1 para saber se o elétron reverte o sentido (isto é, se era para frente e depois vai para trás). Derivando v(t) obtemos
a(t)=\frac{dv}{dt}=-8\,e^{-t}(2-t).
Logo
a(1)=-8\,e^{-1}<0,
o que indica que a velocidade passa de positiva para negativa em t=1; portanto o elétron alcança uma posição máxima em relação à origem nesse instante. Isso confirma que a distância encontrada é a distância máxima no primeiro instante de parada momentânea.