A posição de um elétron de um elétron que se move ao longo do eixo x é dada por x=8 t e^{-t} metros, onde t está em segundos. A que distância está o elétron da origem quando para momentaneamente?

Passo 1

O enunciado dá a posição do elétron ao longo do eixo x como função do tempo:
x(t)=8\,t\,e^{-t}\\ \text{metros},
onde t está em segundos. A pergunta é: “A que distância está o elétron da origem quando para momentaneamente?”\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Função posição: } x(t)=8\,t\,e^{-t}.\\\ &\text{Unidade de }x\text{: metros, unidade de }t\text{: segundos.}\\\ &\text{Precisamos encontrar a posição }x\text{ no instante em que a velocidade é zero.} \end{aligned}çãçãçãé

Passo 2

Conceito importante: o elétron “para momentaneamente” quando sua velocidade é zero. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Para calcular essa derivada vamos usar duas regras básicas:
  1. Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, então
\frac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
  1. Derivada da exponencial: se u(t) é uma função, então
\frac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)e^{u(t)}.
No nosso caso a parte exponencial é e^{-t}, cuja derivada é -e^{-t} porque o expoente -t tem derivada -1.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade passo a passo. Começamos de
x(t)=8\,t\,e^{-t}.
Como 8 é constante, podemos escrevê-la fora da derivada:
v(t)=\frac{dx}{dt}=8\frac{d}{dt}\big(t\,e^{-t}\big).
Aplicando a regra do produto a t e e^{-t}:
\frac{d}{dt}\big(t\,e^{-t}\big)=\underbrace{\frac{d}{dt}(t)}_{=1}\cdot e^{-t}+t\cdot\underbrace{\frac{d}{dt}(e^{-t})}_{=-e^{-t}}.
Portanto
\frac{d}{dt}\big(t\,e^{-t}\big)=e^{-t}-t\,e^{-t}=e^{-t}(1-t).
Multiplicando pelo 8 obtemos a velocidade:
v(t)=8\,e^{-t}(1-t).

Passo 4

Agora encontramos os instantes em que a velocidade é zero:
v(t)=8\,e^{-t}(1-t)=0.
Observação útil: 8 é diferente de zero e e^{-t}>0 para todo t, então esses fatores não podem anular o produto. Logo a única possibilidade é
1-t=0 \quad\Rightarrow\quad t=1\\ \text{segundo}.
Esse é o instante (válido, pois t\ge0) em que o elétron para momentaneamente.

Passo 5

Agora calculamos a posição nesse instante t=1. Substituindo em x(t):
x(1)=8\cdot 1\cdot e^{-1}=\frac{8}{e}\\ \text{metros}.
Se quiser um valor numérico aproximado, usando e\approx 2,71828,
\frac{8}{e}\approx 2,943\\ \text{m}.

Passo 6

Breve interpretação física (para fixar a ideia): podemos checar o sinal da aceleração em t=1 para saber se o elétron reverte o sentido (isto é, se era para frente e depois vai para trás). Derivando v(t) obtemos
a(t)=\frac{dv}{dt}=-8\,e^{-t}(2-t).
Logo
a(1)=-8\,e^{-1}<0,
o que indica que a velocidade passa de positiva para negativa em t=1; portanto o elétron alcança uma posição máxima em relação à origem nesse instante. Isso confirma que a distância encontrada é a distância máxima no primeiro instante de parada momentânea.

Resposta

\dfrac{8}{e}\\ \text{m}\approx 2,943\\ \text{m}

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