Uma conjunto moto-gerador de massa igual a 520 kg produz uma força perturbadora senoidal vertical na frequência de 25 Hz . A força transmitida ao piso deve ter uma amplitude, nessa frequência, não maior que 0,4 vezes a amplitude da força perturbadora da máquina, e a deflexão estática dos suportes, devido ao peso próprio do conjunto, deve ser o menor possível, mas consistente com a condição anterior. Para essa aplicação, suportes de borracha são utilizados, que estão disponíveis em unidades cuja rigidez vale 359 kN / m e com coeficiente de amortecimento igual a 2410 N / s m. Quantas dessas unidades são necessárias para satisfazer as condições estabelecidas no projeto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a máquina de 520 kg vibra a 25 Hz e a força que chega no piso tem de ser no máximo 0,4×a força gerada. A gente vai usar suportes de borracha (cada um com rigidez e amortecimento ) e quer o menor calço possível (ou seja, a maior rigidez total) sem passar do limite de transmissibilidade. O conteúdo é isolamento de vibrações: transmissibilidade de força, frequência natural e fator de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, a gente lembra a fórmula da transmissibilidade de força para excitação harmônica:
T = Ftrans^!0Fpert^!0 = raiz1 + (2zeta,r)^2l(1 - r^2r)^2 + (2zeta,r)^2
onde
é a razão entre a frequência de excitação e a frequência natural .
é o fator de amortecimento .
Queremos .

Passo 3

Vamos achar k = n,ku, c = n,cu , omegan = raizkm = raizn,kum , r = omegaomegan = omega raizmn,ku = 157.08raizn,(359times10^3/520) = 5.98raizn e zeta = c2raizk,m = n,cu2raizn,ku,m = cu2raizku,m,raizn approx 0.0882,raizn em função do número de suportes :
  1. Cada suporte tem e . Com unidades em paralelo:
  2. A freq. natural do conjunto:
  3. Logo
  4. O amortecimento:

Passo 4

Substituindo em 2zeta,r = 2,(0.0882raizn);5.98raizn = 1.055 a gente nota que T(n) = raiz1 + 1.055^2l(1 - (5.98^2)/nr)^2 + 1.055^2 = raiz2.113(1 - 35.76/n)^2 + 1.113 fica constante:
Então
Queremos . Fazendo as contas (ou testando valores inteiros de ), encontramos:
  • Para : .
  • Para : (bem no limite, mas ligeiramente acima).

Passo 5

Como a gente quer o menor número de suportes que satisfaça e ao mesmo tempo manter a rigidez total alta (menor deflexão estática), o número ideal é o maior que dá .
Testando, funciona (já fica justo demais).

Resposta

São necessárias 7 unidades de suporte de borracha.

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