Um ventilador de 45 kg tem um desbalanceamento que cria uma força harmônica. Um conjunto amortecedor-mola deve ser projetado para minimizar a força transmitida para a base do ventilador. O amortecedor proporciona ao sistema um fator de amortecimento xi=0,2. Determine a constante de rigidez da mola tal que somente 10 % da força seja transmitida para o solo quando o ventilador gira a 10000 rpm .

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é projetar uma mola (com amortecedor) pra um ventilador de massa ,kg, de modo que, quando ele girar a 10000 rpm, a força vibratória que chega no chão seja só 10 % da força de desequilíbrio. O assunto é isolamento de vibrações num sistema massa-mola-amortecedor, usando o conceito de transmissibilidade. A gente vai precisar:
  • Converter 10000 rpm pra frequência angular .
  • Usar a fórmula da transmissibilidade em regime harmônico de um sistema massa-mola-amortecedor com razão de amortecimento .
  • Encontrar a rigidez da mola a partir da frequência natural .

Passo 2

Primeiro, converte 10000 rpm em rad/s.
1 rpm = omega = 10000 times 2pi60 approx 10000 times 0,10472 approx 1047 rad/s rad/s, então

Passo 3

A transmissibilidade T = raiz,1 + (2,xi,r)^2,raiz(1 - r^2)^2 + (2,xi,r)^2,, onde r = omegaomegan (relação entre força transmitida e força aplicada) é dada por
Queremos . Substituindo , temos .

Passo 4

Bota 0,1^2 = 1 + (0,4,r)^2(1 - r^2)^2 + (0,4,r)^2 na fórmula e resolve pra u^2 - 17,84,u - 99 = 0 :
u = r^2 approx 22,29 Longrightarrow r = raiz22,29 approx 4,72
Isso dá, após uns passos algébricos, a equação em :
A solução positiva é

Passo 5

Agora sabemos que
r = omegaomegan = 4,72 Longrightarrow omegan = omega4,72 = 10474,72 approx 221,7 rad/s

Passo 6

Por fim, a rigidez omegan = raizkm Longrightarrow k = m,omegan^2 = 45 times (221,7)^2 approx 2,21times 10^6 N/m da mola vem de

Resposta

A constante de rigidez da mola deve ser aproximadamente
boxedk approx 2,2 times 10^6 N/m

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