Qual é o conjunto de números quânticos ( \mathrm{n}, \mathrm{l}, \mathrm{ml} \mathrm{e} \mathrm{ms} ) para o último elétron do orbital 3 \mathrm{~d}^{2} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é o conjunto de números quânticos ( n,\;l,\;m_l e m_s) para o último elétron do orbital 3d^2?”\n
Informações dadas:
\;3d^2 significa que estamos na camada com número quântico principal n igual a 3 e que há dois elétrons ocupando orbitais do subnível d. O enunciado quer os quatro números quânticos do elétron que foi inserido por último (ou seja, de um dos elétrons ocupando o subnível 3d).

Passo 2

Vamos lembrar o significado e os limites de cada número quântico — isso é básico e preciso antes de escolher valores:
\;n (número quântico principal) indica a camada (nível de energia) e toma valores inteiros positivos: n=1,2,3,\dots.\n
\;l (número quântico azimutal ou orbital) indica o subnível (s, p, d, f, …) e para um dado n tem valores inteiros l=0,1,\dots,n-1. Para subníveis usamos a correspondência: l=0\Rightarrow s,\;l=1\Rightarrow p,\;l=2\Rightarrow d,\;l=3\Rightarrow f.\n
\;m_l (número quântico magnético) indica qual orbital dentro do subnível e varia de -l até +l em passos de 1: m_l=-l,-l+1,\dots,0,\dots,+l.\n
\;m_s (número quântico de spin) indica o spin do elétron e só pode ser -\tfrac{1}{2} ou +\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: o prefixo 3d já nos dá diretamente dois números:
\;n=3 (porque é o nível 3) e \;l=2 (porque é subnível d, logo l=2). Essas duas são fixas e não há ambiguidade.

Passo 4

Agora olhamos para \;m_l. Como l=2, os valores possíveis de m_l são
m_l=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2.
O subnível d tem cinco orbitais degenerados correspondentes a esses cinco valores de m_l. Quando há mais de um elétron no subnível (aqui \;3d^2), a regra de Hund diz para maximizar o spin total: isto é, primeiro coloca-se um elétron em cada orbital disponível com spins paralelos ( m_s=+\tfrac{1}{2}, por convenção), antes de emparelhar elétrons num mesmo orbital.

Passo 5

Para \;3d^2 aplicando Hund: os dois primeiros elétrons do subnível 3d ocupam dois orbitais diferentes (dois valores distintos de m_l) e ambos com o mesmo spin, normalmente tomado como m_s=+\tfrac{1}{2}. Portanto o último elétron inserido terá obrigatoriamente m_s=+\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Restou escolher um dos valores possíveis de m_l entre -2,-1,0,1,2. Tecnicamente, a escolha específica de m_l para os elétrons que ocupam orbitais degenerados é arbitrária — qualquer par distinto de valores de m_l com m_s=+\tfrac{1}{2} satisfaz Hund. Em exames e livros é comum dar um exemplo concreto para o “último elétron”, por exemplo escolhendo m_l=+1 (ou m_l=+2, m_l=0, etc.). Vou adotar a escolha convencional e simples
\;m_l=+1,
mantendo m_s=+\tfrac{1}{2} por Hund.

Passo 7

Recapitulando e justificando a escolha final de forma prática:
\;n=3 e \;l=2 vêm diretamente de 3d.
Hund exige spins paralelos para os dois elétrons do subnível 3d, então o último elétron tem \;m_s=+\tfrac{1}{2}.
Entre os possíveis m_l escolhemos um valor permitido (a escolha é, em princípio, arbitrária entre os cinco); escolhemos \;m_l=+1 como representante típico.

Resposta

n=3,\; l=2,\; m_l=+1,\; m_s=+\tfrac{1}{2}

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