Teste 4.15A 30. ml de argônio levam 40. s para efundir por uma barreira porosa. O mesmo volume de vapor de um composto volátil extraído de esponjas do Caribe leva 120 s para efundir pela mesma barreira nas mesmas condições. Qual é a massa molar desse composto?

Passo 1

O enunciado dá que 30\\ \text{ml} de argônio levam 40\\ \text{s} para efundir por uma barreira porosa. O mesmo volume do vapor do composto levou 120\\ \text{s} para efundir pelas mesmas condições. A pergunta é: qual é a massa molar desse composto?
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{Volume (igual para ambos): }30\\ \text{ml (não precisamos do valor absoluto, só que é igual)}\\\ &\text{Tempo de efusão do argônio: }t_{\mathrm{Ar}}=40\\ \text{s}\\\ &\text{Tempo de efusão do composto: }t_{\text{comp}}=120\\ \text{s}\\\ &\text{Massa molar do argônio (tabela): }M_{\mathrm{Ar}}=39{,}95\\ \mathrm{g\,mol^{-1}} \end{aligned}ãóéãôãô

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar, como se estivéssemos estudando juntos): efusão é a passagem de moléculas de um gás através de um pequeno orifício. Graham, lá no século XIX, descobriu uma relação prática: as velocidades (ou taxas) de efusão de dois gases sob as mesmas condições são inversamente proporcionais às raízes quadradas de suas massas molares. Em fórmulas:
\frac{r_1}{r_2}=\sqrt{\frac{M_2}{M_1}}
onde r_i é a taxa de efusão do gás i (por exemplo, volume por unidade de tempo) e M_i é a sua massa molar. Vou explicar cada letra: r_1 = taxa do gás 1 (volume/tempo), r_2 = taxa do gás 2, M_1 = massa molar do gás 1, M_2 = massa molar do gás 2.
Como aqui nos deram o mesmo volume para ambos os gases, a taxa de efusão pode ser escrita como
r=\frac{\text{volume}}{\text{tempo}}.
Se o volume é o mesmo, a razão das taxas fica simplesmente inversa à razão dos tempos:
\frac{r_{\mathrm{Ar}}}{r_{\text{comp}}}=\frac{(V/t_{\mathrm{Ar}})}{(V/t_{\text{comp}})}=\frac{t_{\text{comp}}}{t_{\mathrm{Ar}}}.
Substituindo isso na lei de Graham obtemos a relação útil para massas molares:
\frac{t_{\text{comp}}}{t_{\mathrm{Ar}}}=\sqrt{\frac{M_{\text{comp}}}{M_{\mathrm{Ar}}}}.

Passo 3

Agora vamos isolar M_{\text{comp}} nessa última relação. Elevando ambos os lados ao quadrado:
\left(\frac{t_{\text{comp}}}{t_{\mathrm{Ar}}}\right)^2=\frac{M_{\text{comp}}}{M_{\mathrm{Ar}}}.
Multiplicando por M_{\mathrm{Ar}} temos a fórmula direta:
M_{\text{comp}}=M_{\mathrm{Ar}}\left(\frac{t_{\text{comp}}}{t_{\mathrm{Ar}}}\right)^2.
Explico novamente: t_{\text{comp}} é o tempo do composto ( 120\\ \text{s}), t_{\mathrm{Ar}} é o tempo do argônio ( 40\\ \text{s}). Essa fórmula é prática: quanto mais lento o gás efunde (maior tempo), maior sua massa molar.

Passo 4

Agora substituímos os números:
\frac{t_{\text{comp}}}{t_{\mathrm{Ar}}}=\frac{120}{40}=3.
Então
\left(\frac{t_{\text{comp}}}{t_{\mathrm{Ar}}}\right)^2=3^2=9.
Logo
M_{\text{comp}}=M_{\mathrm{Ar}}\times 9=39{,}95\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}\times 9.
Faço a multiplicação devagar: 40\times 9=360, e como usei 39{,}95 (que é 0{,}05 a menos que 40), corrijo 360-0{,}45=359{,}55\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}. Em termos práticos e de algarismos significativos dos dados do problema, arredondamos para 360\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: o composto efundiu 3 vezes mais devagar que o argônio (tempo 3× maior), então sua massa molar é 3^2=9 vezes a do argônio. Isso dá cerca de 3{,}6\times10^{2}\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}, ou seja, um composto bem pesado — faz sentido com os números dados.

Resposta

\,360\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}

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